[論文レビュー] The clocks they are adjunctions:Denotational semantics for Clocked Type Theory

Bassel Mannaa, Rasmus Ejlers Møgelberg|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、共帰的推論に不可欠な「チック」を、随伴関手と意味的置換を用いてモデル化することで、時刻型理論（CloTT）の意味論を提示する。従来の保証付き再帰のモデルを拡張し、文脈におけるチック仮定を扱えるようにし、保証付きキュービカル型理論におけるパス型といった将来の拡張に対しても整合的な意味論を可能にする。

ABSTRACT

Clocked Type Theory (CloTT) is a type theory for guarded recursion useful for programming with coinductive types, allowing productivity to be encoded in types, and for reasoning about advanced programming language features using an abstract form of step-indexing. CloTT has previously been shown to enjoy a number of syntactic properties including strong normalisation, canonicity and decidability of type checking. In this paper we present a denotational semantics for CloTT useful, e.g., for studying future extensions of CloTT with constructions such as path types. The main challenge for constructing this model is to model the notion of ticks used in CloTT for coinductive reasoning about coinductive types. We build on a category previously used to model guarded recursion, but in this category there is no object of ticks, so tick-assumptions in a context can not be modelled using standard tools. Instead we show how ticks can be modelled using adjoint functors, and how to model the tick constant using a semantic substitution.

研究の動機と目的

• 共帰的推論をチックを用いて可能にする、時刻型理論（CloTT）の意味論を提供すること。
• 標準的なモデルにチックに対応する対象が存在しない文脈におけるチック仮定（例：α:κ）をモデル化する課題に対処すること。
• 時間圏上のプレシーヴィングに依拠する従来の保証付き再帰モデル（例：BizjakとMøgelbergのモデル）を、随伴関手を用いてチックを統合する形で拡張すること。
• 保証付きキュービカル型理論におけるパス型のようなCloTTの将来の拡張に対して、意味論的推論を可能にすること。
• 遅延関手の左随伴関手としてのチックの取り扱いを形式化し、整合性と構成的置換を保証すること。

提案手法

• 文脈を、チック拡張Γ, α:κが遅延関手R^κの左随伴関手L^κを用いてL^κ⟦Γ⟧として解釈する、家族の圏（category with families）でモデル化する。
• プレシーヴィング圏上の自己関手の間の随伴L^κ ⊣ R^κを用いて、チックと遅延のモダリティをモデル化する。
• チック定数を、L^κから恒等関手への自然変換として意味的置換として解釈する。
• 随伴と自然変換を備えた、整合性条件を満たす家族の圏としてチック計算のモデルを構築する。
• 文脈拡張下での項の意味的解釈と置換の可換性を検証することで、置換と型付けの整合性を証明する。
• 既存の保証付き再帰モデル（例：時間圏上のBizjakとMøgelbergのモデル）を、新しい意味論の基盤として活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベースの圏にチックの対象が存在しない場合、文脈におけるチック仮定をどのように意味論的にモデル化できるか？
• RQ2 チック定数とその型ファミリーとの相互作用をモデル化するには、どのような圏的構造が必要か？
• RQ3 随伴関手を用いて、チック計算を家族の圏で整合的に解釈できるか？
• RQ4 随伴関手の構造が、チックを含む文脈における置換と型付けの整合性をどのように保証するか？
• RQ5 この意味論は、保証付きキュービカル型理論におけるパス型のような将来のCloTTの拡張を、高次元型理論の基盤としてサポートできるか？

主な発見

• 文脈におけるチックは、遅延関手R^κの左随伴関手L^κを用いてモデル化され、L^κ⟦Γ⟧による文脈拡張が可能になる。
• チック定数は、L^κから恒等関手への自然変換として解釈され、チックが遅延された値にアクセス可能にするというアイデアを捉えている。
• チック変数の置換が意味的解釈と可換になることを保証し、型付け規則の整合性を証明する。
• 従来の保証付き再帰モデルを、随伴を用いたチック処理を統合することで一般化している。
• 構成的かつ整合的な圏的基盤を提供するため、パス型のような将来の拡張をサポートする。
• チック計算の断片に対して意味論が整合的であり、置換と型付けが意味的解釈下で保存される。