[論文レビュー] The clone generated by the median functions

Michael Pinsker|ArXiv.org|Jan 10, 2004

Optimization and Mathematical Programming被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形順序集合上の奇数項の中央値関数の生成するクローンが、任意の奇数項中央値関数を含むことを証明しており、中央値関数が互いに生成しあうことを確立している。主な結果は、単一の中央値関数によって生成されるクローンが最小であり、集合のサイズにかかわらず、すべての奇数項中央値関数を含むことである。

ABSTRACT

Let X be a linearly ordered set of arbitrary size (finite or infinite). Natural functions on such a set one can define using the linear order include maximum, minimum and median functions. While it is clear what the clone generated by the maximum or the minimum looks like, this is not obvious for median functions. We show that every clone on X contains either no median function or all median functions, that is, the median functions generate each other.

研究の動機と目的

• 線形順序集合上の中央値関数によって生成されるクローンの構造を特定すること。
• 中央値関数がクローン内において互いに生成しあうかどうかを調査すること、特に最大/最小関数と比較して。
• 中央値関数によって生成されるクローン内の関数のうち、最小関数および非最小関数を特定すること。
• 奇数項中央値関数がクローン生成において果たす役割と、それらの相互定義可能性を明確にすること。

提案手法

• 奇数 $ n $ に対して $ m^n_k $ を $ n $-タプルにおける $ k $ 番目に小さい要素と定義し、$ \operatorname{med}_n = m^n_{(n+1)/2} $ とおく。
• 変数同定を用いて、$ n $ が $ k $ でほぼ割り切れる場合、剰余の条件に基づいて $ \operatorname{med}_k $ を $ \operatorname{med}_n $ から構成する。
• $ b $ 進中央値関数を再帰的に用いて、より大きな中央値関数をより小さなものから生成する構成法を導入する。
• 再帰関係 $ r_{j+1} > r_j (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}r_j^2 - \frac{1}{n_j-1}) $ を適用し、$ r_j \to 1 $ を示すことで、中央値の構成を可能にする。
• $ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $ を任意の奇数 $ n \geq 3 $ に対して証明し、その後すべての奇数 $ k \geq 3 $ に拡張する。
• $ \min_2 $ および $ \max_2 $ が $ k \leq \lfloor n/2 \rfloor $ または $ k \geq \lceil n/2 \rceil $ のとき $ m^n_k $ から定義可能であることを用いて、非極端な $ m^n_k $ が非最小であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の中央値関数によって生成されるクローンは、すべての奇数項中央値関数を含むか？
• RQ2 異なる奇数項の中央値関数は、合成と変数同定を用いて互いに定義可能か？
• RQ3 どの関数 $ m^n_k $ が最小であり、そのクローンが最小である条件は何か？
• RQ4 中央値関数がより大きな中央値関数を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 偶数 $ n $ の下位中央値（$ \operatorname{med}^{\text{low}}_n = m^n_{n/2} $）と上位中央値（$ \operatorname{med}^{\text{up}}_n = m^n_{n/2+1} $）は、真の奇数項中央値関数と比較して定義可能性においてどう異なるか？

主な発見

• 任意の奇数項中央値関数 $ \operatorname{med}_n $ によって生成されるクローンは、集合のサイズにかかわらず、すべての奇数 $ k \geq 3 $ に対する中央値関数 $ \operatorname{med}_k $ を含む。
• $ \operatorname{med}_3 $ によって生成されるクローンは最小であり、$ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $ であるから、$ \operatorname{med}_n $ によって生成されるクローンも最小である。
• 任意の奇数 $ n \geq 3 $ に対して、$ \operatorname{med}_3 $ は変数同定により $ \operatorname{med}_n $ から構成可能である：$ \operatorname{med}_3(x_1,x_2,x_3) = \operatorname{med}_n(x_1,\dots,x_1,x_2,\dots,x_2,x_3,\dots,x_3) $ で、各変数を $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor $ 個または $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor + 1 $ 個繰り返す。
• $ 2 \leq k \leq \lfloor n/2 \rfloor $ または $ \lceil n/2 \rceil < k < n $ のとき、関数 $ m^n_k $ は最小でない。なぜなら、それぞれ $ \min_2 $ または $ \max_2 $ を生成するからである。
• $ m^n_k $ の中で最小となるのは、最大（$ k=n $）、最小（$ k=1 $）、および奇数項中央値関数（$ k=(n+1)/2 $）に限られる。
• 偶数 $ n $ の下位中央値 $ \operatorname{med}^{\text{low}}_n = m^n_{n/2} $ は、奇数項中央値関数から定義可能ではなく、特に $ \operatorname{med}^{\text{low}}_4 $ は任意の奇数項中央値関数を生成できない。