[論文レビュー] The coalescent point process of branching trees

Amaury Lambert, Lea Popovic|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の分岐過程における重複度付きの共役点過程を、Bienaymé–Galton–Watson 樹木の単調な平面埋め込みを用いて系統を表現することにより導入する。重複度付きの共役過程が点測度のマルコフ過程であることを確立し、連続状態分岐過程に関連する極限過程への収束を示す不変性原理を証明する。線形分数型の場合には、明示的な遷移関数と独立同分布の枝長が得られる。

ABSTRACT

We define a doubly infinite, monotone labeling of Bienayme-Galton-Watson (BGW) genealogies. The genealogy of the current generation backwards in time is uniquely determined by the coalescent point process $(A_i; i\ge 1)$, where $A_i$ is the coalescence time between individuals i and i+1. There is a Markov process of point measures $(B_i; i\ge 1)$ keeping track of more ancestral relationships, such that $A_i$ is also the first point mass of $B_i$. This process of point measures is also closely related to an inhomogeneous spine decomposition of the lineage of the first surviving particle in generation h in a planar BGW tree conditioned to survive h generations. The decomposition involves a point measure $ ho$ storing the number of subtrees on the right-hand side of the spine. Under appropriate conditions, we prove convergence of this point measure to a point measure on $\mathbb{R}_+$ associated with the limiting continuous-state branching (CSB) process. We prove the associated invariance principle for the coalescent point process, after we discretize the limiting CSB population by considering only points with coalescence times greater than $\varepsilon$.

研究の動機と目的

• 一般の分岐過程（離散的および連続状態分岐過程を含む）に対して、一貫性があり有限標本の共役点過程を定義すること。
• 標準的な共役過程が分岐集団において非マルコフ的であるという問題を克服するため、重複度を追跡する点測度のマルコフ過程を導入すること。
• 重複度付き共役点過程と連続状態分岐過程の高さ過程との間の関係を確立すること、特に局所的深さを通じて。
• 離散化後の共役過程に対する不変性原理を証明し、CSB プロセスに関連する極限点過程への収束を示すこと。
• 重複度付き共役過程の遷移関数の明示的公式を導出し、特に線形分数型の子孫分布のような特殊ケースにおけるその分布を特徴づけること。

提案手法

• Bienaymé–Galton–Watson 樹木の二重無限で単調な平面埋め込みを用い、個体を世代とインデックスでラベル付けすることで、交差しない系統線を保証する。
• 共役点過程 (Ai; i ≥ 1) を、現在の世代（第0世代）における連続する個体 i と i+1 の共通祖先までの共役時刻の列として定義する。ここで Ai は個体 i と i+1 の最も最近の共通祖先までの時間を表す。
• 点測度のマルコフ過程 (Bi; i ≥ 1) を導入し、各 Bi は個体 i+1 のネストされた系統的系列を、脊索上の部分木の深さと重複度を示す点質量として記録する。
• 平面 BGW 樹木において最初の生存粒子の系統を、非一様な脊索分解により分析し、右側部分木を追跡する点測度 ρ を導入する。
• 共役時刻が ε より大きいもののみを考慮する離散化を適用し、極限過程 (Bεi; i ≥ 1) を得る。この過程は、固定レベル以下の高さ過程の局所的エクストリームの深さが ε より大きいものに対応する。
• マルコフ連鎖 (Di; i ≥ 1) の遷移確率を用いて、共役過程の分布を導出し、特に線形分数型の場合には、最初の通過時刻 Ai = h を条件づけることで得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の分岐過程に対して、系統的関係の重複度を捉える一貫性があり有限標本の共役点過程を定義できるか？
• RQ2 重複度付き共役点過程 (Bi; i ≥ 1) はマルコフ的か？ もしそうならば、その遷移関数を明示的に特徴づけられるか？
• RQ3 適切なスケーリングの下で、共役過程は連続状態分岐過程に関連する極限過程に収束するか？
• RQ4 線形分数型の子孫分布の場合における共役時刻 (Ai; i ≥ 1) の分布は何か？ また、それらは独立同分布か？
• RQ5 全集団の最も最近の共通祖先までの時間は、劣臨界分岐過程における Yaglom 準静的分布とどのように関係するか？

主な発見

• 線形分数型の子孫分布（パラメータ (a,b)）の場合、共役枝長 (Ai; i ≥ 1) は i.i.d. であり、a ≠ b のとき P(A1 > n) = (b − a)/(b m^n − a)、a = b のとき P(A1 > n) = (1 − a)/(n a + 1 − a) が成り立つ。
• ε > 0 に対する極限共役点過程 (Bεi; i ≥ 1) は、脊索分解と高さ過程のエクストリームを通じて得られる明示的な遷移関数を持つ点質量のマルコフ連鎖である。
• 全集団の最も最近の共通祖先までの時間 U の分布は Yaglom 準静的分布に従い、(U, V) の同時分布が特徴づけられる。ここで V は、U までの集団の共役時刻である。
• V = n ≥ 1 の条件下で、最初の個体と同一祖先を持つサブ集団のサイズ U は、ζn ≥ 2 の条件下での Zn の分布に一致する。Yaglom 分布の母関数は a(s) = P(V = 0)s + Σn≥1 P(V = n) E(sZn | ζn ≥ 2) を満たす。
• 劣臨界線形分数型の場合（a > b）、Yaglom 分布は失敗確率 b/a の幾何分布であり、P(Ai = ∞) = 1 − b/a が成り立ち、U が Ai = ∞ となる最初の i であることに整合する。
• 重複度付き共役過程 (Bi; i ≥ 1) はマルコフ的であり、その遷移関数は、系統的系列のカウントを追跡する下位のマルコフ連鎖 (Di; i ≥ 1) の遷移確率から明示的に導出できる。