[論文レビュー] The coarea formula for Sobolev mappings

Jan Malý, David Swanson+1 more|ArXiv.org|Dec 1, 2001

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$p > m$ および勾配がローレンツ空間 $L^{m,1}$ に属する $W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 内のソボレフ写像へフェデラーの共面積公式を拡張し、そのような写像のグラフが $\mathcal{H}^n$-可縮的であり、共面積および面積公式がほとんど everywhere で成り立つことを証明する。主な貢献は、リプシッツ写像を超えて共面積公式の有効性を確立し、グラフの可縮性を中心的な解析的道具として用いることにある。

ABSTRACT

We extend Federer's coarea formula to mappings $f$ belonging to the Sobolev class $W^{1,p}(R^n;R^m)$, $1 \le m < n$, $p>m$, and more generally, to mappings with gradient in the Lorentz space $L^{m,1}(R^n)$. This is accomplished by showing that the graph of $f$ in $R^{n+m}$ is a Hausdorff $n$-rectifiable set.

研究の動機と目的

• フェデラーの共面積公式をリプシッツ写像を超えて、より広いクラスのソボレフ写像へ拡張すること。
• 勾配がローレンツ空間 $L^{m,1}$ に属する $f \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ に対して共面積公式の有効性を確立すること。
• そのような写像のグラフが $\mathcal{H}^n$-可縮的であることを証明し、幾何測度論的手法の適用を可能にすること。
• 特に $m > 1$ の場合に、既存の結果を簡略化・一般化する統一的な枠組みを提供すること。
• ホルダー連続性を用いて $p = m$ の限界ケースを扱い、この正則性条件下で共面積公式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• $p > m$ または $|\nabla f| \in L^{m,1}$ のとき、$f \in W^{1,p}(\Omega; \mathbb{R}^m)$ のグラフ $\mathcal{G}_f$ が可算個の $\mathcal{H}^n$-可縮的集合に含まれることを証明する。
• 共面積公式を導出するための重要な中間ステップとして、面積公式 $\mathcal{H}^n(\bar{f}(E)) = \int_E |J_n \bar{f}(x)| \, dx$ を用いる。
• $W^{1,m}$-写像と直交射影の文脈で、射影による像の測度を分析するためのファビニ型の議論を適用する。
• 証明の基盤として、可縮的集合間のリプシッツ写像に対する共面積公式を用いる。
• ハウスドルフ測度が可縮性を捉えられない場合に備え、限界ケース $p = m$ を取り扱うために積分幾何学的測度 $\mathcal{I}^n$ を用いる。
• 幾何測度論の結果、特に $\mathcal{H}^q$-可縮性の理論およびアフィン部分空間への制限におけるヤコビアンの挙動を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共面積公式は、$p > m$ である $W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 内のソボレフ写像へ拡張可能か？
• RQ2 勾配がローレンツ空間 $L^{m,1}(\mathbb{R}^n)$ に属する写像に対し、共面積公式は成り立つか？
• RQ3 $p > m$ または $|\nabla f| \in L^{m,1}$ の条件下で、ソボレフ写像 $f \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ のグラフは $\mathcal{H}^n$-可縮的か？
• RQ4 ホルダー連続性の下で、$p = m$ の限界ケースに共面積公式を拡張できるか？
• RQ5 ハウスドルフ測度が $\mathcal{H}^n$-可縮性を捉えられない場合、積分幾何学的測度 $\mathcal{I}^n$ は果たす役割は何か？

主な発見

• 局所的に $f \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega; \mathbb{R}^m)$ で $p > m$ または $p \geq m = 1$ のとき、$f$ が正確に表現されている限り、共面積公式が成り立つ。
• そのような写像のグラフ $\mathcal{G}_f$ は可算個の $\mathcal{H}^n$-可縮的集合に含まれ、幾何測度論的手法の適用が可能になる。
• $|\nabla f| \in L^{m,1}(\Omega)$ のとき、共面積および面積公式が成り立ち、より細かい可積分性スケールへの拡張が可能になる。
• 限界ケース $p = m$ では、$f$ がホルダー連続であれば共面積公式が成り立ち、グラフは $\mathcal{I}^n$-可縮的である。
• 同じ条件下で、すべての可測集合 $E \subset \Omega$ に対して、面積公式 $\mathcal{H}^n(\bar{f}(E)) = \int_E |J_n \bar{f}(x)| \, dx$ が成り立つ。
• $\mathcal{L}^n(N) = 0$ ならば、すべての $V \in \mathbf{G}(n+m,n)$ に対して $\mathcal{H}^n(P_V \circ \bar{f}(N)) = 0$ であり、したがって $\mathcal{I}^n(\bar{f}(N)) = 0$ である。