[論文レビュー] The Cobb-Douglas production function revisited

Roman G. Smirnov, Kunpeng Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2019

Economic theories and models被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1899年から1922年までの米国製造業データを用いて、バイハミルトニアン力学系アプローチを用いて古典的コブ＝ダグラス生産関数を再考し、検証している。Rプログラミングを用いたモデルフィッティングにより、導出された弾力性パラメータおよび全要素生産性が、コブとダグラスによる元々の推定値とよく一致しており、現代の分析手法と歴史的経済データとの間で一貫性が確認された。

ABSTRACT

Charles Cobb and Paul Douglas in 1928 used data from the US manufacturing sector for 1899-1922 to introduce what is known today as the Cobb-Douglas production function that has been widely used in economic theory for decades. We employ the R programming language to fit the formulas for the parameters of the Cobb-Douglas production function generated by the authors recently via the bi-Hamiltonian approach to the same data set utilized by Cobb and Douglas. We conclude that the formulas for the output elasticities and total factor productivity are compatible with the original 1928 data.

研究の動機と目的

• 現代のバイハミルトニアン力学系フレームワークを用いて、古典的コブ＝ダグラス生産関数を再評価すること。
• バイハミルトニアンアプローチから導出された代替弾力性および全要素生産性の解析的式が、1928年の米国製造業の元データと整合するかどうかを検証すること。
• 労働、資本、出力の指数的成長の仮定を、Rプログラミングによる統計的フィッティングを用いて検証すること。
• 佐藤の理論的導出が、同時にホロティック技術変化の制限的仮定を必要としないことを示すこと。
• 高度な数学的モデリングと20世紀初頭の実証的経済データとの間の定量的リンクを提供すること。

提案手法

• 労働（L）、資本（K）、出力（Y）を指数的成長過程としてモデル化する3つの結合微分方程式を定式化する：$ x_i = c_i \exp(b_i t) $, $ i=1,2,3 $。
• 系を線形化するため対数変換を適用する：$ \ln x_i = C_i + b_i t $。これにより、Rにおける最小二乗法による線形回帰が可能になる。
• バイハミルトニアン構造を用いて、第一積分 $ H_1 $, $ H_2 $, および $ H_3 = H_1 - H_2 $ を導出し、これによりコブ＝ダグラス形 $ Y = A L^\alpha K^\beta $ が得られる。
• 弾力性パラメータを $ \alpha = \frac{a-1}{a-b} $, $ \beta = \frac{1-b}{a-b} $ により導出する。ここで $ a $ および $ b $ は、成長率 $ b_1, b_2, b_3 $ から導かれる。
• 全要素生産性（TFP）を $ A = \exp\left( \frac{H_3}{a-b} \right) $ を用いて推定する。ここで $ H_3 $ はデータから計算され、流れに沿って定数である。
• モデルの適合度を、調整済み決定係数（0.9934）および全3つの時系列における残差分析を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイハミルトニアンアプローチは、1928年のコブ＝ダグラスの実証的研究と整合する弾力性パラメータおよび全要素生産性を再現できるか？
• RQ2 1899年から1922年までの歴史的米国製造業データと、労働、資本、出力の指数的成長の仮定は整合するか？
• RQ3 バイハミルトニアンフレームワークに基づく導出されたコブ＝ダグラス形 $ Y = A L^\alpha K^\beta $ は、佐藤の「同時にホロティック技術変化」の仮定を必要とせずに、実証データと一致するか？
• RQ4 現代の統計的手法を用いて元データから推定された、代替弾力性 $ \alpha $, $ \beta $、および全要素生産性 $ A $ の正確な値は何か？
• RQ5 線形化モデルが、出力、労働、資本の対数インデックスデータにどの程度適合するか？決定係数および残差分散によって測定される。

主な発見

• 資本に関して、調整済み決定係数が0.9934に達し、対数データへの線形適合が極めて良好であることが確認された。
• 推定された成長率は、$ b_1 = 0.0255 $（労働）、$ b_2 = 0.0647 $（資本）、$ b_3 = 0.0359 $（出力）であり、条件 $ b_2 > b_3 > b_1 $ を満たしており、理論的枠組みの妥当性を支持する。
• 労働の導出された代替弾力性は $ \alpha = 0.2659 $、資本のそれは $ \beta = 0.7341 $ であり、コブ＝ダグラス形が要求するように合計が1.0000に一致している。
• 全要素生産性は $ A = 1.00997 \approx 1.01 $ と推定され、コブとダグラスの1928年研究における約1.00の元の推定値とよく一致している。
• データポイント間での $ H_3 $ の分散は0.5923、平均は0.1365であり、第一積分の定数性が確認され、バイハミルトニアン導出の妥当性が裏付けられた。
• 結果として、バイハミルトニアンアプローチは、佐藤の「同時にホロティック技術変化」の制限的仮定を必要とせずに、一貫したパラメータ推定をもたらすことが確認された。