[論文レビュー] The coding of compact real trees by real valued functions

Thomas Duquesne|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Algorithms and Data Compression被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、根、線形順序、および整合性のある測度を備えたコンパクトな実木（real tree）と、区間 [0,M] 上で定義され、0 で消失し正のジャンプを持たない非負で左連続で右極限をもつ関数の間の一対一対応を確立する。主な貢献は、木の探索中にバックトラッキングを最小化する一意な高さ過程を用いた、このような構造的木の標準的コード化である。また、測度の変更がコード関数の再パrametrizationに対応することを示している。

ABSTRACT

This paper is a detailled study of the coding of real trees by real valued functions that is motivated by probabilistic problems related to continuum random trees. Indeed it is known since the works of Aldous (1993) and Le Gall (1991) that a continuous non-negative function $h$ on $[0,1]$ such that $h(0)=0$ can be seen as the contour process of a compact real tree. This particular coding of a compact real tree provides additional structures, namely a root that is the vertex corresponding to $0\in [0,1]$, a linear order inherited from the usual order on $[0,1]$ and a measure induced by the Lebesgue measure on $[0,1]$; of course, the root, the linear order and the measure obtained by such a coding have to satisfy some compatibility conditions. In this paper, we prove that any compact real tree equipped with a root, a linear order and a measure that are compatible can be encoded by a non-negative function $h$ defined on a finite interval $[0, M]$, that is assumed to be left-continuous with right-limit, without positive jump and such that $h(0+)=h(0)=0$. Moreover, this function is unique if we assume that the exploration of the tree induced by such a coding backtracks as less as possible. We also prove that a measure-change on the tree corresponds to a re-parametrization of the coding function. In addition, we describe several path-properties of the coding function in terms of the metric properties of the real tree.

研究の動機と目的

• 根、線形順序、および整合性のある測度を備えたコンパクトな実木が実数値関数によってコード可能となる条件を同定すること。
• 探索中にバックトラッキングを最小化する一意な標準的コード関数を確立すること。
• 木上の測度の変更がコード関数の再パラメータ化に対応することを示すこと。
• コード関数のパス性質が、元の実木の距離的・幾何的特徴とどのように関連するかを明らかにすること。
• 連続確率的木（CRT）やLévy木の既存のコード化手法を統合・一般化すること。

提案手法

• 根、[0,M] からの誘導される線形順序、および木の位相と整合性のあるBorel測度を備えた構造的コンパクトな実木を、距離空間として定義する。
• コード関数 h(t) を、木の深さ優先探索において時刻 t に到達する点までの根からの距離として構成する。
• h に以下の条件を課す：非負性、左連続性と右極限の存在、h(0+)=h(0)=0、正のジャンプなし。
• バックトラッキングを最小化するという要請により、コード関数の一意性を証明する。すなわち、探索は可能な限り前進する。
• 高さ過程をコード関数の標準的代表元として用い、Lévy過程の局所時刻および輪郭過程と関連付ける。
• 木上の測度変更がコード関数 h の再パラメータ化を引き起こし、木の等長同型類が保存されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根、線形順序、および整合性のある測度を備えたどのコンパクトな実木が実数値関数によってコード可能か？
• RQ2 このようなコード関数の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 コード関数のパス性質（例：連続性、有界変動性）は、木の幾何的構造とどのように関連するか？
• RQ4 木上の測度の変更はコード関数にどのように影響するか？
• RQ5 Lévy木やCRTのような確率的木の文脈において、高さ過程がコード関数の標準的代表元であるという意味は何か？

主な発見

• 根、線形順序、および整合性のある測度を備えた任意のコンパクトな実木は、[0,M] 上で定義され、0 で消失し、正のジャンプを持たない非負で左連続で右極限をもつ関数によって一意にコード可能である。
• バックトラッキングを最小化する一意のコード関数は、木の探索に対応する高さ過程にちょうど一致する。
• 木上の測度変更はコード関数の再パラメータ化を引き起こし、木の等長同型類は保存される。
• コード関数のパス性質（例：連続性、無限変動性）は、測度に原子が存在しないことやスケルトンの構造といった木の距離的性質に対応する。
• このコード化手法は、CRTのブラウン運動のギャップやLévy木の高さ過程といった既知の構成を統合・一般化する。
• 無限変動パスをもつLévy過程が誘導する木は、非原子的測度と測度ゼロのスケルトンを持つ。また、均等にシャッフルされた順序の高さ関数は連続であるが、分布は一般には扱いにくく、ブラウン運動の場合を除いては解析的に扱いにくい。