[論文レビュー] The cohomological Brauer group of a toric variety

Frank DeMeyer, Tim Ford+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、エタールコホモロジーを用いて、トーリック多様体のコhomological Brauer群を計算し、それが除数類群の torsion 部分群をトーラス不変除数によって生成される部分群で割ったものと同型であることを示している。この結果により、ユニット層のエタールコホモロジーの第二群が、ファンの組合せ的構造とトーリック多様体のアフィン開部分多様体の階数付き環構造を活用して、完全に記述可能である。

ABSTRACT

Toric varieties are a special class of rational varieties defined by equations of the form {\it monomial = monomial}. For a good brief survey of the history and role of toric varieties see [10]. Any toric variety $X$ contains a cover by affine open sets described in terms of arrangements (called fans) of convex bodies in $\Bbb R^r$. The coordinate rings of each of these affine open sets is a graded ring generated over the ground field by monomials. As a consequence, toric varieties provide a good context in which cohomology can be calculated. The purpose of this article is to describe the second étale cohomology group with coefficients in the sheaf of units of any toric variety $X$. This is the so-called cohomological Brauer group of $X$.

研究の動機と目的

• 任意のトーリック多様体に対して、ユニット層に係数をとる第二エタールコホモロジー群の構造を特定すること。
• アズマヤ代数をモリタ同値類で分類するコhomological Brauer群を記述すること。
• R^r におけるファンによって定義されるトーリック多様体の組合せ的性質を活用して、コホモロジー不変量を明示的に計算すること。
• コhomological Brauer群と除数類群、およびトーラス不変ウェイリ・除数によって生成される部分群との関係を明らかにすること。
• アフィン開部分多様体の階数付き環構造を用いて、コhomological Brauer群の完全かつ明示的な記述を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、トーリック多様体のファン記述を用い、ファンの各錐に対応するアフィン開被覆に多様体を分解する。
• 各アフィン開部分多様体の座標環は、基本体上の単項式によって生成される階数付き環であるため、明示的なコホモロジー計算が可能になる。
• エタールコホモロジー群は、メイヤー＝ビートルスのスペクトル系列とファンの面ラティスの構造を用いて計算される。
• コhomological Brauer群は、除数類群の torsion 部分群をトーラス不変ウェイリ・除数によって生成される部分群で割ったものとして特定される。
• ユニット層の構造が、座標環の単項式性質により明確に理解できることに依拠している。
• 最終的な結果は、指数列に関連するエタールコホモロジーの長完全系列とファンの組合せ的データの解析によって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体上でのユニット層に係数をとる第二エタールコホモロジー群の構造は何か？
• RQ2 コhomological Brauer群は、トーリック多様体の除数類群とどのように関係しているか？
• RQ3 ファンの組合せ的データを用いて、コhomological Brauer群を明示的に計算できるか？
• RQ4 トーラス不変除数は、トーリック多様体のブラウ어群を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 トーリック多様体のコhomological Brauer群は、除数類群の部分群と同型であるか？

主な発見

• トーリック多様体のコhomological Brauer群は、除数類群の torsion 部分群をトーラス不変ウェイリ・除数によって生成される部分群で割ったものと同型である。
• ファン構造を用いて、ユニット層に係数をとる第二エタールコホモロジー群 H^2(X, G_m) が明示的に計算された。
• 計算結果から、ブラウア群が有限かつ torsion であることが示され、これはトーリック多様体の有理的かつ組合せ的性質を反映している。
• この結果は、論文の仮定に基づき、特性がゼロの代数的に閉じた体上の任意のトーリック多様体に対して成り立つ。
• 除数類群が torsion-free であり、かつトーラス不変除数によって生成される場合に限り、コhomological Brauer群は消える。
• この手法により、ファンの組合せ的性質とアフィン開部分多様体の階数付き環構造のみを用いて、ブラウア群の完全かつアルゴリズム的な記述が可能である。