[論文レビュー] The cohomological comparison arising from the associated abelian object

Dominique Bourn|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、半アーベル圏 $\mathbb{D}$ 及びそのスライス圏 $\mathbb{D}/Y$ 内のアーベル的対象の部分圏におけるコホモロジー群が同型となる条件を確立する。$\mathbb{D}$ がピリーアーベルであり、$Y$ が射影次元 1 を持つ場合——これは群やリー代数の圏が満たす条件である——には、比較写像 $j^n_A$ が同型であることが示され、エイレンベルク＝マクレインコホモロジーがこの文脈において群とアーベル群を区別できないことを示している。

ABSTRACT

We make explicit some conditions on a semi-abelian category D such that, for any abelian group A in D and any object Y in D, the cohomology group homomorphisms with coefficients in A, induced by the inclusion of the abelian objects of D at the level of the slice category D/Y, are actually isomorphisms. These conditions hold in particular when D is the category Gp of groups, and this allows us to give a new insight on the Eilenberg-Mac Lane cohomology of groups. They hold also when D is the category K-Lie of Lie-algebras.

研究の動機と目的

• スライス圏 $\mathbb{D}/Y$ 内のアーベル的対象のコホモロジー比較写像 $j^n_A: H^n_{M(\mathbb{D}/Y)}(A) \to H^n_{\mathbb{D}/Y}(A)$ が同型となる条件を特定すること。
• 半アーベル圏 $\mathbb{D}$ に対して、そのアーベル的対象のコホモロジーがスライス圏 $\mathbb{D}/Y$ 内の全圏のコホモロジーと一致するような、グローバルおよびローカルな条件を同定すること。
• これらの条件を群の圏 $Gp$ およびリー代数の圏 $\mathbb{K}$-Lie に適用し、エイレンベルク＝マクレインコホモロジーがこれらの状況において非アーベル構造を検出できないことを示すこと。
• 内部 $n$-グロイドと $M(\mathbb{D}/Y)$、すなわち $\mathbb{D}/Y$ 内の可換対象の圏の構造を通じて、エイレンベルク＝マクレインコホモロジーの新しい圏論的解釈を提供すること。

提案手法

• 本稿は、ドスキンとグレンに従い、有限完全かつ正確な圏における内部 $n$-グロイドの枠組みを用いてコホモロジー群を実現する。
• アーベル的対象の包含写像 $j: Ab\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ に対する特定のホモロジー的条件によって定義される「ピリーアーベル」圏 $\mathbb{D}$ の概念を導入する。
• スライス圏 $\mathbb{D}/Y$ 内の可換対象の包含写像 $j_Y: M(\mathbb{D}/Y) \to \mathbb{D}/Y$ を分析し、$Y$ が射影次元 1 を持つとき、この包含写像がコホモロジーに同型を誘導することを証明する。
• 短い完全系列の補題と引き出しの性質を用いて、$Y$ が射影次元 1 を持つとき、$M(\mathbb{D}/Y)$-特有のグロイドが $\mathbb{D}/Y$ 内に存在することを示す。
• 自由群の部分群および自由リー代数の部分代数が自由であること——これは $Gp$ および $\mathbb{K}$-Lie 内のすべての対象に対して射影次元 1 を示唆する——という事実を活用する。
• 交差 $n$-重拡張の圏（エイレンベルク＝マクレインコホモロジーを実現する）が、$\mathbb{D}/Y$ 内のアスフェリカル $n$-グロイドの圏と同値であることを確立し、コホモロジーの同型を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半アーベル圏 $\mathbb{D}$ 及び対象 $Y$ に対して、比較写像 $j^n_A: H^n_{M(\mathbb{D}/Y)}(A) \to H^n_{\mathbb{D}/Y}(A)$ が同型となる条件は何か？
• RQ2 群の圏 $Gp$ が非アーベル的であるにもかかわらず、エイレンベルク＝マクレインコホモロジーが非アーベル構造を検出できないのはなぜか？
• RQ3 コホモロジー同型 $M(\mathbb{D}/Y)$ と $\mathbb{D}/Y$ の間を、位相群のような他の圏へ拡張できるか？
• RQ4 $Y$ の射影次元が $\mathbb{D}$ 内でどのように、$\mathbb{D}/Y$ 内の $M(\mathbb{D}/Y)$-特有の $n$-グロイドの存在に関係しているか？

主な発見

• 群の圏 $Gp$ において、すべての $n$ およびすべての $\mathbb{D}/Y$ 内のアーベル群 $A$ に対して、比較写像 $j^n_A$ は同型である。これは、すべての群 $Y$ が射影次元 1 を持つことによる。
• 体 $\mathbb{K}$ 上のリー代数の圏 $\mathbb{K}$-Lie においても、同様のコホモロジー同型が成立する。これは、シルシュォフ＝ウィットの定理によりすべてのリー代数が射影次元 1 を持つことから生じる。
• この同型は、$Gp$ 及び $\mathbb{K}$-Lie において、アーベル的対象のコホモロジーと全圏のコホモロジーが区別できないことを示しており、これらの圏の「ピリーアーベル」構造に起因する。
• 位相群の圏 $GpTop$ は、本手法に必要な条件を満たしているが、本稿では射影次元の議論がこの設定に拡張可能かどうかは未解決のまま残されている。
• 本稿は、$\mathbb{D}/Y$ 内のアスフェリカル $n$-グロイドの圏が、交差 $n$-重拡張の圏と同値であることを確立した。これにより、エイレンベルク＝マクレインコホモロジーが実現される。