[論文レビュー] The cohomological equation for partially hyperbolic diffeomorphisms

Amie Wilkinson|ArXiv.org|Sep 29, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、部分的双曲的微分同相写像上でのコhomological方程式 $\phi = \Phi \circ f - \Phi$ について、$C^r$ 関数 $\phi$ の解の可解性および正則性を、新規のジェットに基づくアプローチと Journé の定理を用いて確立する。$r$-bunching および可アクセス性の下で、連続的解が $C^r$ であることを証明する。主な貢献は、中心安定および不安定な葉に沿ったホロノミーから、解 $\Phi$ の完全な $C^r$ スムーズネスへの正則性伝達メカニズムの確立である。

ABSTRACT

We establish a theory for the existence and regularity of solutions to the cohomological equation over an accessible, partially hyperbolic diffeomorphism. As a by-product of our techniques, we show that for $r>1$, any $C^r$ homogeneous, locally compact submanifold of a $C^r$ manifold is in fact a $C^r$ submanifold.

研究の動機と目的

• 部分的双曲的系における周期軌道の欠如により、古典的な Livsic 型基準が無効になる問題に対処する。
• 周期軌道の欠如に起因する課題を克服するため、$su$-パスおよび $su$-ループを新たな障害フレームワークとして導入する。
• $f$ が $r$-bunched で可アクセスであり、$\phi$ が $C^r$ のとき、コhomological方程式の解の正則性を確立する。これは、Anosov 系における古典的結果の拡張である。
• ホロノミーによる正則性伝達メカニズムをジェットに基づいて開発し、ホロノミーの Hölder や $C^r$ 正則性をグローバル解のスムーズネスに伝える。
• $r$-bunching および可アクセス性の下で $C^r$ 解が存在するかという未解決の問題を解消し、連続的解が $C^r$ であることを示す。

提案手法

• Anosov 系から部分的双曲的系への周期軌道障害の一般化として、$su$-パスおよび $su$-ループの概念を導入する。
• 許容可能バンドルの飽和断面および中心安定／不安定ホロノミーを定義し、力学的 foliation 沿いに正則性を伝搬させる。
• 次数 $\overline{\ell}$ のジェットバンドルを構成し、そのホロノミーを用いて転送関数の $C^{\overline{\ell},\overline{\alpha}}$ 正則性を定義する。
• Journé の定理を応用し、横断的 foliation（例：$\mathcal{W}^u$ および $\widehat{\mathcal{W}}^{cs}$）からの正則性を、解の完全な $C^r$ スムーズネスへと引き上げる。
• $r$-bunching 条件を用いて、ジェット空間およびホロノミー写像における導関数の成長を一様に制御する。
• ジェットバンドル上のグラフ変換を用いて、反復的に正則性推定値を改善し、転送関数 $\Phi$ の $C^r$ 正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期軌道が存在しない部分的双曲的微分同相写像上でのコhomological方程式 $\phi = \Phi \circ f - \Phi$ が、$C^r$ 関数 $\phi$ に対して解けるか。
• RQ2 $f$ が $r$-bunched で可アクセスであり、$\phi$ が $C^r$ のとき、コhomological方程式の連続的解 $\Phi$ が $C^r$ 正則性を示すか。
• RQ3 $\phi$ から $\Phi$ への正則性伝達において、1階の微分の損失は避けられないものか、それとも任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\Phi$ が $C^{r-\varepsilon}$ であることが示せるか。
• RQ4 ジェットに基づくホロノミー法を用いて、非 Anosov 系における foliation 葉から全多様体への正則性拡張は可能か。
• RQ5 $su$-パス障害は、部分的双曲的系におけるコhomological方程式の可解性を完全に特徴づけるか。

主な発見

• $r$-bunching および可アクセス性の下で、$\phi$ が $C^r$ で $r > 1$ が整数でないとき、任意の連続的解 $\Phi$ は $C^r$ である。
• $f$ と $\phi$ が $C^1$ であれば、解 $\Phi$ は $C^1$ である。$f$ と $\phi$ が実解析的であれば、$\Phi$ も実解析的である。
• $f$ が $C^1$ であれば、連続的解は Hölder 継続的である。これは、部分的双曲的系への Livsic の結果の拡張である。
• Journé の定理を新規に応用し、横断的 foliation（例：$\mathcal{W}^u$ および $\widehat{\mathcal{W}}^{cs}$）からの $C^{\overline{\ell},\overline{\alpha}}$ 正則性をグローバルな $C^r$ スムーズネスへと伝達する。
• ジェットバンドルフレームワークにより、ホロノミー近似の誤差を正確に定量化でき、誤差が $o(d(x,y)^r)$ で有界であることが保証され、正則性伝達が可能になる。
• $r$-bunched かつ可アクセスな部分的双曲的微分同相写像は、$su$-パス障害が消える場合に限り、コhomological方程式の $C^r$ 解をもつ。