[論文レビュー] The cohomology of abelian Hessenberg varieties and the Stanley-Stembridge conjecture

Megumi Harada, Martha Precup|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

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ひとこと要約

本稿では、Tymoczkoのドット作用を用いて、アーベル的正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホロジーにおけるSn表現について帰納的公式を確立し、グレーディング付きスターリング＝スタムブリッジ予想がアーベル的場合に成り立つことを証明する。主な結果は、より小さなヘッセンバーグ多様体に関するコホロジー類の再帰的分解であり、表紙表現分解におけるすべての係数が非負整数であることを示している。

ABSTRACT

We define a subclass of Hessenberg varieties called abelian Hessenberg varieties, inspired by the theory of abelian ideals in a Lie algebra developed by Kostant and Peterson. We give an inductive formula for the $S_n$-representation on the cohomology of an abelian regular semisimple Hessenberg variety with respect to the action defined by Tymoczko. Our result implies that a graded version of the Stanley-Stembridge conjecture holds in the abelian case, and generalizes results obtained by Shareshian-Wachs and Teff. Our proof uses previous work of Stanley, Gasharov, Shareshian-Wachs, and Brosnan-Chow, as well as results of the second author on the geometry and combinatorics of Hessenberg varieties. As part of our arguments, we obtain inductive formulas for the Poincaré polynomials of regular abelian Hessenberg varieties.

研究の動機と目的

• 本研究の目的は、特定のクラスのヘッセンバーグ多様体に対してグレーディング付きスターリング＝スタムブリッジ予想を証明することである。
• 問題は、正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホロジーが、対称群Snの表紙表現の非負組み合わせに分解されることを示すことである。
• 目的は、コホロジー環のSn表現分解における係数の帰納的公式を確立することである。
• 研究は、gl(n,C)におけるアーベル的イデアルによって定義されるアーベル的ヘッセンバーグ多様体に焦点を当て、この分解を達成する。
• 目的は、Shareshian-WachsおよびTeffの先行結果を、非巡回的向きとシンク集合に関する幾何学的・組合せ論的技法を用いて一般化することである。

提案手法

• 著者たちは、Lie代数gl(n,C)における関連イデアルIhがアーベル的であるようなヘッセンバーグ関数hを用いて、アーベル的ヘッセンバーグ多様体を定義する。
• 彼らはTymoczkoのドット作用を用いて、正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホロジーにおけるSn作用を定義する。
• この手法は、非比較グラフΓhの非巡回的向きを、特に最大のシンク集合によって分解することに依存する。
• 帰納的公式は、Γh上の向きと、部分集合T ∈ SK2(Γh)（最大2シンク集合の集合）によって定義されるより小さなグラフΓhT上の向きを関連させることで構築される。
• 正則アーベル的ヘッセンバーグ多様体のペアコーシェー多項式は、各Tに対して関連する次数シフトdeg(T)を用いて帰納的に計算される。
• 証明はnに関する帰納法に基づき、hがアーベル的であれば、SK2(Γh)に属する各Tに対して関連するhTもアーベル的であることが示され、帰納的仮定が保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル的正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホロジーは、Snの表紙表現Mλの非負組み合わせに分解されるか？
• RQ2 H2i(Hess(S,h)) = ∑λ⊢n cλ,i Mλにおける係数cλ,iの帰納的公式を構築できるか？
• RQ3 非比較グラフΓhにおける最大シンク集合は、コホロジー表現の構造とどのように関係するか？
• RQ4 帰納的公式はアーベル的でない場合にも一般化可能か？その一般化にはどのような制限があるか？
• RQ5 イデアルの高さと非巡回的向きの構造は、コホロジー表現を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、アーベル的ヘッセンバーグ多様体に対して、コホロジーH2i(Hess(S,h))がSnの表紙表現Mλの非負線形結合であることを証明した。
• 帰納的公式が確立された：H2i(Hess(S,h)) = c(n),iM(n) + ∑T∈SK2(Γh) (∑μ⊢(n−2) cTμ,i−deg(T) M(μ1+1,μ2+1)) であり、係数はより小さなヘッセンバーグ多様体から引き継がれる。
• 係数cλ,iは非負整数であり、アーベル的場合におけるグレーディング付きスターリング＝スタムブリッジ予想が確認された。
• 帰納的構造が保たれる：hがアーベル的であれば、SK2(Γh)に属する各Tに対してhTもアーベル的であり、帰納的証明が可能になる。
• 正則アーベル的ヘッセンバーグ多様体のペアコーシェー多項式は、最大2シンク集合に関連する次数シフトdeg(T)を用いて帰納的に計算された。
• 一般ヘッセンバーグ多様体への帰納的公式の一般化を示唆する予想（予想8.1）が提示されたが、これは全表現ではなく、m(Γh)個の部分を持つ分割λの係数のみを決定する。