[論文レビュー] The cohomology of Bestvina-Brady groups

Ian J. Leary, Müge Saadetoğlu|ArXiv.org|Nov 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、右側アーティン群から ℤ への写像の核として得られるベストヴィナ＝ブレイド群である、トーラスの部分複体の無限サイクリック被覆の整数係数ホモロジーおよびコホモロジー環を計算する。任意の環上のコホモロジカル次元を特定し、それが定義するフラッグ複体のホモトピー型に依存し、係数環の選択に応じて変化しうることを示し、これらの群の主要な有限性性質に関する問題を解決する。

ABSTRACT

For each subcomplex of the standard CW-structure on any torus, we compute the homology of a certain infinite cyclic regular covering space. In all cases when the homology is finitely generated, we also compute the cohomology ring. For aspherical subcomplexes of the torus our computation gives the homology and cohomology of Bestvina-Brady groups. We compute the cohomological dimension of each of these groups over any field and over any subring of the rationals.

研究の動機と目的

• 各トーラスの部分複体 $T_L$ に関連する無限サイクリック被覆 $\widetilde{T}_L$ のホモロジーおよびコホモロジー環を計算すること。
• 任意の非自明な環 $R$ 上でのベストヴィナ＝ブレイド群 $H_L$ のコホモロジカル次元を特定すること。
• $\widetilde{T}_L$ の $R$-ホモロジーが $R$-加群として有限生成となる条件を同定すること。
• 特に $R$ が体または $\mathbb{Q}$ の部分環である場合に、コホモロジカル次元が係数環 $R$ にどのように依存するかを明確にすること。

提案手法

• 頂点集合 $V$ を持つ各単体的複体 $L$ に対して、$T(V)$ における円の積で定義される部分複体 $T_L \subset T(V)$ を構成し、$T(V)$ 上の積写像によって誘導されるセルマップ $\mu_L: T_L \to \mathbb{T}$ を考える。
• トーラス $\mathbb{T}$ の普遍被覆への引き戻しによって得られる、$\mathbb{Z}$-被覆である無限サイクリック正則被覆空間 $\widetilde{T}_L$ を研究する。
• セルホモロジーと $T_L$ のセルホモロジー複体における微分が自明であることを使い、$H_*(\widetilde{T}_L; R)$ を $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-加群として計算する。
• $L$ が $R$-アセイクリックである場合に、普遍係数定理および PID 上の射影加群の性質を用いて $H^*(\widetilde{T}_L; R)$ を分析する。
• $G_L$ を $L$ に関連する右側アーティン群とするとき、$H_L = \pi_1(\widetilde{T}_L)$ が写像 $\mu_*: G_L \to \mathbb{Z}$ の核であることに着目し、$H_L$ のコホモロジカル次元と $L$ の位相的性質との関係を確立する。
• フラッグ複体の条件とホルエヴィッチ定理を用いて、$L$ を含む $R$-アセイクリックなフラッグ複体 $K$ を構成し、$H_L$ のコホモロジカル次元を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な環 $R$ に対して、$\widetilde{T}_L$ の $R$-ホモロジーが $R$-加群として有限生成となるのはいつか？
• RQ2 任意の環 $R$ 上でのベストヴィナ＝ブレイド群 $H_L$ のコホモロジカル次元は何か？
• RQ3 $H_L$ のコホモロジカル次元は、特に $R$ が体または $\mathbb{Q}$ の部分環である場合に、係数環 $R$ の選択にどのように依存するか？
• RQ4 単体的複体 $L$ にどのような条件を課すと、コホモロジー環 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$ が完全に決定可能になるか？
• RQ5 自明なコホモロジカル次元と $H_L$ のコホモロジカル次元の関係は何か？

主な発見

• $\widetilde{T}_L$ の $R$-ホモロジーが $R$-加群として有限生成であるのは、$L$ が有限かつ $R$-アセイクリックである場合に限る。
• 任意の $R$-アセイクリックな $L$ に対して、コホモロジー環 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$ は $L$ のコホモロジーおよび $R$ の作用を用いて完全に記述できる。
• $H^n(L; A) \neq 0$ となる $R$-加群 $A$ が存在するとき、$H_L$ の $R$ 上のコホモロジカル次元は $n+1$ であり、そうでない場合は $n$ である。ここで $n = \dim(L)$ である。
• $H_L$ のコホモロジカル次元は、$G_L$（右側アーティン群）とは異なり、係数環 $R$ の選択に応じて変化しうる。
• 自明なコホモロジカル次元と $H_L$ のコホモロジカル次元は一致する。これは、これらの群の有限性性質に関する疑問を解決する。
• 例により、ある整数 $m$ が $R$ で単元であるかどうかに応じて $\mathrm{cd}_R(H_L)$ が 2 または 3 になり得ることが示され、コホモロジカル次元の環依存性が明確に示された。