[論文レビュー] The Cohomology of the Ordinals I: Basic Theory and Consistency Results

Jeffrey Bergfalk, Chris Lambie‐Hanson|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、順序数上の無限的組合せ論を統一的に理解する枠組みとしてČechコホモロジーを導入し、高次元のコホモロジー群がTodorcevicのウォークや一貫性列を一般化することを示している。非自明なコホモロジー群が大きな基数と整合しない一方で、Gödelの構成可能宇宙Lでは最大限に存在することを確立しており、これらは段階的な非コンパクト性の原理として位置づけられる。

ABSTRACT

In this paper, the first in a projected two-part series, we describe an organizing framework for the study of infinitary combinatorics. This framework is Čech cohomology. We show in particular that the Čech cohomology groups of the ordinals articulate higher-dimensional generalizations of Todorcevic's walks and coherent sequences techniques, and begin to account for those techniques' `unreasonable effectiveness' on $ω_1$. This discussion occupies the first half of our paper and is written with a general mathematical audience in mind. We turn in the paper's second half to more properly set-theoretic considerations. We describe a number of consistency results on the cohomology groups of the ordinals which certify their status as a graded family of incompactness principles. We show in particular that nontrivial cohomology groups on the ordinals are in some tension with large cardinals, and are maximally extant in Gödel's model $\mathrm{L}$. We describe forcings to add, then trivialize, nontrivial $n$-cocycles, and conclude with some comparison of these principles with those benchmark incompactness phenomena, the existence of square sequences and failures of stationary reflection.

研究の動機と目的

• 順序数上の高次元的組合せ的現象を理解するためのコホモロジカルな枠組みを構築すること。
• 順序数上のČechコホモロジー群が、ω₁におけるTodorcevicのウォークや一貫性列の有効性を一般化・解釈すること。
• 非自明なコホモロジー群の整合性の強さを分析し、特に大きな基数の仮定下での挙動を検討すること。
• 非自明なコホモロジーがGödelの構成可能宇宙Lにおいて最大限に存在することを示し、強いコンパクト性や弱いコンパクト性の下では消えることの証明。
• コホモロジカルな非コンパクト性の原理を、平方列や静的反射の失敗といった古典的なものと比較すること。

提案手法

• 定数層A_dを用いたČechコホモロジーを用いて、整合性やウォークの高次元一般化を形式化する。
• 順序数上のn-整合性族の関数を定義し、それが非自明なČechコホモロジー群Ȟⁿ(ξ, A_d)と正確に一致することを示す。
• 非自明なn-コサイクルを加えたり、それらを自明化したりするためのフォースィング技法を適用し、コホモロジーが消えるか存続するモデルを構成する。
• 強いコンパクト基数のLévy崩壊を用いて、正則なλ > ωₙに対してȞⁿ(λ) = 0を強制する。
• P-理想の二分法を用いて、正則なλ > ω₁に対してȞ¹(λ) = 0を強制する。
• 特に共終性の制約があるP × P上のフォースィング拡大における、非自明なn-整合性の保存性を含め、コホモロジーの挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n > 1のとき、任意のアーベル群Aと正則なλ > ωₙに対して、Ȟⁿ(λ, A_d) = 0であることは（大きな基数の下で）整合的か？
• RQ2 cf(δ) ≥ ωₙのとき、P × Pによるフォースィングにおいて非n-自明なn-整合性族が保存可能か？
• RQ3 コホモロジカルな非コンパクト性の原理Ȟⁿ(λ, A_d)は、平方列や静的反射の失敗と比べてどれほど強いか？
• RQ4 n > 1のとき、順序数のコホモロジーはωₙの構造をどの程度反映しているか？
• RQ5 定理3.12の結果を、非弱コンパクト基数についての高次元コホモロジー次元に一般化可能か？

主な発見

• 任意の正則基数λ > ωₙに対して、λが弱コンパクトであるか、または強いコンパクト基数以上であれば、コホモロジー群Ȟⁿ(λ, A_d)は消える。
• Gödelの構成可能宇宙Lにおいて、Ȟⁿ(λ, A_d)はそれが非自明になり得る限り非自明である、すなわち正則なλ > ωₙでcf(λ) > ωₙのときである。
• 強いコンパクト基数のLévy崩壊を用いてω₃に強制することで、任意のアーベル群Aとすべてのλ ≥ κに対してȞ²(λ, A_d) = 0が成立する。
• 非n-自明なn-整合性族の関数をλに加えるフォースィングの概念が存在し、これにより非自明なȞⁿ(λ, A_d)が加えられる。
• また、このようなn-整合性族を自明化するフォースィングの概念も存在し、非自明なコホモロジーが絶対的でないことを示している。
• コホモロジカルな非コンパクト性の原理Ȟⁿ(λ, A_d)は大きな基数と対立し、Lにおいて最大限に存在するため、構成可能性と強い関係があることが示唆される。