[論文レビュー] The cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A

Hiraku Abe, Megumi Harada+2 more|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 30, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Hessenberg関数 h に単純に依存する生成子と関係式を用いて、型 A の正則冪零 Hessenberg多様体の有理コホモロジー環を完全かつ明示的に提示する。正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環と、対応する正則半単純 Hessenberg多様体のコホモロジー環の S_n-不変部分環との間に同型写像を確立することで、最近の Shareshian-Wachs 予想の証明よりも強い結果を得ている。

ABSTRACT

Let $n$ be a fixed positive integer and $h: \{1,2,\ldots,n\} ightarrow \{1,2,\ldots,n\}$ a Hessenberg function. The main results of this paper are twofold. First, we give a systematic method, depending in a simple manner on the Hessenberg function $h$, for producing an explicit presentation by generators and relations of the cohomology ring $H^\ast(Hess(\mathsf{N},h))$ with $\mathbb{Q}$ coefficients of the corresponding regular nilpotent Hessenberg variety $Hess(\mathsf{N},h)$. Our result generalizes known results in special cases such as the Peterson variety and also allows us to answer a question posed by Mbirika and Tymoczko. Moreover, our list of generators in fact forms a regular sequence, allowing us to use techniques from commutative algebra in our arguments. Our second main result gives an isomorphism between the cohomology ring $H^*(Hess(\mathsf{N},h))$ of the regular nilpotent Hessenberg variety and the $S_n$-invariant subring $H^*(Hess(\mathsf{S},h))^{S_n}$ of the cohomology ring of the regular semisimple Hessenberg variety (with respect to the $S_n$-action on $H^*(Hess(\mathsf{S},h))$ defined by Tymoczko). Our second main result implies that $\mathrm{dim}_{\mathbb{Q}} H^k(Hess(\mathsf{N},h)) = \mathrm{dim}_{\mathbb{Q}} H^k(Hess(\mathsf{S},h))^{S_n}$ for all $k$ and hence partially proves the Shareshian-Wachs conjecture in combinatorics, which is in turn related to the well-known Stanley-Stembridge conjecture. A proof of the full Shareshian-Wachs conjecture was recently given by Brosnan and Chow, but in our special case, our methods yield a stronger result (i.e. an isomorphism of rings) by more elementary considerations. This paper provides detailed proofs of results we recorded previously in a research announcement.

研究の動機と目的

• 型 A の正則冪零 Hessenberg多様体の有理コホモロジー環について、生成子と関係式を用いた体系的で明示的な記述を提供すること。
• Peterson多様体などの特殊ケースに既知の結果を一般化し、Mbirika と Tymoczko が提起した問いを解消すること。
• 正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環と、対応する正則半単純 Hessenberg多様体のコホモロジー環の S_n-不変部分環との間の環同型を確立すること。
• 組合せ論的 Stanley-Stembridge 予想に貢献するため、Shareshian-Wachs 予想を明示的かつ初等的な方法で部分的に証明すること。

提案手法

• 著者らは、Q 係数のコホモロジー環 H*(Hess(N,h)) に対する明示的な生成子の集合を構成し、その生成子が Hessenberg関数 h に直接的かつ単純に依存することを示した。
• 生成子の集合が正則列をなすことを証明し、これにより可換代数的手法（例えば Koszul複体や正則列の技術）をコホモロジー解析に応用可能とした。
• 多項式 f_{i,j}(w) の再帰的定義を用いて、生成子を初等対称多項式および変数 u_j と関連づけた。
• 主な同型写像の証明は、初等対称多項式の性質と f_{i,j}(w) 関数の再帰的構造を用いた、ペア (i,j) に関する詳細な帰納的議論に依拠している。
• 著者らは、Tymoczko の S_n-作用を用いて正則半単純 Hessenberg多様体のコホモロジー環における不変部分環を定義し、同型写像を確立した。
• 鍵となる技術的ステップは、f_{i,j}(w) を初等対称多項式の和および生成子 b_{k,j} に関連付ける母関数の恒等式（式 A.3）を証明することであった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 A の正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環について、Hessenberg関数 h のみに依存する生成子と関係式を用いた一様で明示的な記述が可能か？
• RQ2 正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環は、対応する正則半単純 Hessenberg多様体のコホモロジー環の S_n-不変部分環への環同型をもつのか？
• RQ3 コホモロジー環の構造は、彩色クasi-対称関数と S_n-表現に関する Shareshian-Wachs 予想とどのように関係するか？
• RQ4 正則冪零および半単純 Hessenberg多様体のベッチ数が等しいという既知の結果を、この設定において環同型に強化できるか？
• RQ5 Peterson多様体の場合を一般化する、正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環を体系的に計算する方法は存在するか？

主な発見

• コホモロジー環 H*(Hess(N,h)) は、Hessenberg関数 h に単純に依存する生成子と関係式による明示的記述を有する。
• 生成子の集合は正則列をなしており、Koszul複体や正則列の技術を含む可換代数の道具の適用が可能になる。
• H*(Hess(N,h)) と H*(Hess(S,h))^{S_n} の間には環同型が存在し、これはすべての次数でベッチ数の等しさを意味する。
• この同型写像は、最近の Shareshian-Wachs 予想の証明よりも強い結果をもたらす。それは、単なるベッチ数の等しさではなく、環同型を確立しているからである。
• 本結果により、Shareshian-Wachs 予想の一部が証明され、正則冪零 Hessenberg多様体の特別な場合におけるより初等的で幾何的な証明が得られた。
• 本稿は、Mbirika と Tymoczko が提起した正則冪零 Hessenberg多様体のコホモロジー環の構造に関する問いを解決した。