[論文レビュー] The Coloring Ideal and Coloring Complex of a Graph

Einar Steingrı́msson|ArXiv.org|Apr 5, 2001

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グラフ G のカラーリング理想とカラーリング複体を導入し、d 個の原子からなるブール代数の順序複体の Stanley-Reisner 環における単項式理想 K を構成する。K に含まれる単項式は G の適切な彩色と一対一に対応し、K の Hilbert 多項式は G の彩色多項式に等しい。主な結果は、カラーリング複体 Δ_G のオイラー標数が G の無閉路向きの数に等しいことである。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph on $d$ vertices. We define a monomial ideal $K$ in the Stanley-Reisner ring $A$ of the order complex of the Boolean algebra on $d$ atoms. The monomials in $K$ are in one-to-one correspondence with the proper colorings of $G$. In particular, the Hilbert polynomial of $K$ equals the chromatic polynomial of $G$. The ideal $K$ is generated by square-free monomials, so $A/K$ is the Stanley-Reisner ring of a simplicial complex $C$. The $h$-vector of $C$ is a certain transformation of the tail $T(n)= n^d-k(n)$ of the chromatic polynomial $k$ of $G$. The combinatorial structure of the complex $C$ is described explicitly and it is shown that the Euler characteristic of $C$ equals the number of acyclic orientations of $G$.

研究の動機と目的

• d 個の原子からなるブール代数の順序複体の Stanley-Reisner 環に、単項式理想 K を定義し、K に含まれる単項式がグラフ G の適切な彩色と一対一に対応するようにすること。
• K の Hilbert 多項式が G の彩色多項式に等しいことを示し、代数的・組合せ論的構造の直接的な関係を確立すること。
• A/K の Stanley-Reisner 複体として定義される単体的複体 C = Δ_G の組合せ的構造を記述し、その h ベクトルを彩色多項式の尾部と関連付けること。
• カラーリング複体 Δ_G のオイラー標数が G の無閉路向きの数に等しいことを証明し、彩色と向きの不変量の深い関係を明らかにすること。
• カラーリング複体が、同じ彩色多項式と対称彩色関数を持つ非同型のグラフを区別できることを示し、Stanley の彩色対称関数とは異なり、それらを区別できることを示すこと。

提案手法

• d 個の原子からなるブール代数の順序複体の Stanley-Reisner 環 A における単項式理想 K を定義する。
• 置換に基づく構成により、カットと G-系列を定義し、頂点集合の安定集合への順序付き分割を誘導する。
• 各頂点に対して、置換順序におけるパス長 ℓ(k) を、その頂点で終わる最長パスに基づいて定義する。
• パス長の増加または長さが等しい場合の辞書式順序に関する条件を用いてカットを定義し、安定集合のブロックを保証する。
• K が適切な彩色に対応する単項式によって生成されるため、カラーリング複体 Δ_G を A/K の Stanley-Reisner 複体として構成する。
• T_G(n) = n^d - χ_G(n) の W 変換を適用し、Δ_G の h ベクトルと彩色多項式の係数との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Stanley-Reisner 環に、その Hilbert 多項式がグラフ G の彩色多項式と一致する単項式理想を構成できるか？
• RQ2 カラーリング複体 Δ_G の h ベクトルは、彩色多項式 χ_G(n) の係数とどのように関係しているか？
• RQ3 カラーリング複体 Δ_G のオイラー標数は、無閉路向きの数のような既知のグラフ不変量を符号化しているか？
• RQ4 カラーリング複体は、同じ彩色多項式と対称彩色関数を持つ非同型のグラフを区別できるか？
• RQ5 カラーリング複体はシェーラブルか？そして、これは関連する環が Cohen-Macaulay であることを示唆するか？

主な発見

• カラーリング理想 K の Hilbert 多項式は、グラフ G の彩色多項式 χ_G(n) に等しい。
• カラーリング複体 Δ_G の h ベクトルは、T_G(n) = n^d - χ_G(n) の変換であり、代数的不変量と彩色データを結びつける。
• Δ_G のオイラー標数は、W 変換と Stanley の χ_G(-1) に関する定理を用いて、G の無閉路向きの数に等しい。
• カラーリング複体は、同じ彩色多項式と対称彩色関数を持つ 5 頂点の非同型グラフを区別でき、Stanley の彩色対称関数とは異なり、それらを区別できる。
• Δ_G のファセット数は E·(d−1)! に等しく、T_G(n) の W 変換の先頭係数から導出される。
• カラーリング理想 K は平方自由単項式によって生成され、A/K の面環は単体的複体 Δ_G の Stanley-Reisner 環であり、Δ_G は明示的に記述されている。