[論文レビュー] The combinatorics of category O for symmetrizable Kac-Moody algebras

Peter Fiebig|arXiv (Cornell University)|May 27, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可symple化 Kac-Moody代数のカテゴリカル・オーにおける非臨界ブロックの構造が、整数的ウェイル群の組合せ論とその重みへの作用によって完全に決定されることを確立している。同様に、パrameter空間への作用が同型である等価なコクセター系が等価なカテゴリカル・オーをもたらすことを証明し、有限型およびアフィン型の非整数的ブロックにおけるカジダン＝ルシュチグ予想を、カテゴリカル同型を用いて既に知られている整数的ケースに還元している。

ABSTRACT

We show that the structure of blocks outside the critical hyperplanes of category O over any symmetrizable Kac-Moody algebra depends only on the corresponding integral Weyl group and its action on the parameters of the Verma modules by giving a combinatorial description of the projective objects. As an application we derive the Kazhdan-Lusztig conjecture for non-integral blocks from the integral case in finite and affine situations.

研究の動機と目的

• 有限次元半単純リー代数から可symple化 Kac-Moody代数へのゾルゲルのカテゴリカル同型結果の一般化を行う。
• 臨界超平面の外側におけるカテゴリカル・オーの構造が、ウェイル群とその重みへの作用にのみ依存することを示す。
• コインvariant代数と翻訳ファンクターを用いて、非整数的ブロックにおける射影的対象の組合せ論的記述を確立する。
• カテゴリカル同型を用いて、有限型およびアフィン型の非整数的ブロックにおけるカジダン＝ルシュチグ予想を整数的ケースに還元する。

提案手法

• コクセター系 $ ({ m W}( ext{L}), { m S}( ext{L})) $ に付随するコインvariant代数 $ C = C({ m W}( ext{L}), { m S}( ext{L})) $ を、ブロック構造の主要な不変量として用いる。
• カテゴリカル・オーから $ C $-mod へのファンクター $ b{V} = { m Hom}(P(w_0. ext{L}), ullet) $ を構成し、ホモロジー空間を保存するとともに、翻訳ファンクターを交換させる。
• ウェイル群の元の長さに関する帰納法を用いて、$ ext{L} $ が正則であるとき $ b{V} $ が同型 $ { m O}_ ext{L} o C{ m -mod} $ を誘導することを証明する。
• ティルティングファンクターと切断ファンクターを用いて、正のレベルブロックから負のレベルブロックへの同型の拡張を行う。
• 同型のコクセター系を用いて、カテゴリカル同型を介して非整数的ブロックにおけるカジダン＝ルシュチグ予想を整数的ケースに還元する。
• 既知の整数的ブロックに関する結果（ベイリソン＝バーナイン、ブリリニスキ＝カシワラ、カシワラ＝タニサキ）を活用し、非整数的ケースにおいても予想が成立することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可symple化 Kac-Moody代数のカテゴリカル・オーの構造が、臨界超平面の外側でウェイル群とその重みへの作用にのみ依存するか。
• RQ2 有限型およびアフィン型の Kac-Moody代数における非整数的ブロックのカジダン＝ルシュチグ予想は、整数的ケースに還元可能か。
• RQ3 コインvariant代数と翻訳ファンクターを用いて、非整数的ブロックにおける射影的対象の組合せ論的記述は可能か。
• RQ4 コクセター系の同型が、カテゴリカル・オーのブロック同型を誘導する条件は何か。
• RQ5 ティルティングファンクターを用いて、正のレベルブロックから負のレベルブロックへのカテゴリカル同型を拡張可能か。

主な発見

• 関連するコクセター系 $ ({ m W}( ext{L}), { m S}( ext{L})) $ と $ ({ m W}'( ext{L}'), { m S}'( ext{L}')) $ が同型であり、重みへの作用が整合する限り、カテゴリカル・オーのブロック $ { m O}_ ext{L} $ と $ { m O}'_{ ext{L}'} $ は同型である。
• カテゴリカル・オーの射影的対象は、コインvariant代数 $ C $ とウェイル群の作用によって完全に決定され、$ { m Hom}(P(w. ext{L}), ullet) $ は $ C{ m -mod} $ への全射的・忠実的・完全なファンクターを提供する。
• 正則で、有限型またはアフィン型のブロックが臨界超平面の外側にあるとき、ヴェルマモジュール内の単純モジュールの合成系列は、カジダン＝ルシュチグ多項式 $ P_{y,w} $ および $ Q_{w,y} $ によって支配される。
• 同型 $ { m O}_ ext{L} o { m O}'_{ ext{L}'} $ はヴェルマモジュールおよび単純モジュールの類を保存するため、$ [M(x. ext{L}):L(y. ext{L})] = [M(x. ext{L}'):L(y. ext{L}')] $ が成り立つ。
• ウェイル群が有限またはアフィン型であり、ブロックが正則であるとき、有限およびアフィン型の可symple化 Kac-Moody代数における非整数的ブロックにおいてカジダン＝ルシュチグ予想は成立する。
• 本結果は、既知のカジダン＝ルシュチグ予想の証明（例：カシワラ、カシワラ＝タニサキ）を、カテゴリカル同型を用いて整数的ブロックから非整数的ブロックへ拡張する。