[論文レビュー] The combinatorics of LCD codes: Linear Programming bound and orthogonal matrices

Steven T. Dougherty, Jon-Lark Kim+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

graph theory and CDMA systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、与えられた長さと最小距離に対して、二進線形補完双対（LCD）符号の最大サイズに対する線形計画法による上限を導出し、これが標準的な上限よりも厳密にタイトであることを示している。直交行列、自己双対符号、組合せデザイン、および環 $ R_k $ 上のグレイ写像を用いてLCD符号を構成し、$ LCK[n,d] $ の下界を包括的な表として提供している。主な結果として、直交行列が複数のLCD符号を生成できること、および上限が古典的推定値を著しく改善することを示している。

ABSTRACT

Linear Complementary Dual codes (LCD) are binary linear codes that meet their dual trivially. We construct LCD codes using orthogonal matrices, self-dual codes, combinatorial designs and Gray map from codes over the family of rings $R_k$. We give a linear programming bound on the largest size of an LCD code of given length and minimum distance. We make a table of lower bounds for this combinatorial function for modest values of the parameters.

研究の動機と目的

• 与えられた長さと最小距離に対する二進LCD符号の最大サイズの線形計画法による上限を導出すること。
• 直交行列、自己双対符号、対称デザイン、および環 $ R_k $ 上のグレイ写像を用いて、新たなLCD符号を構成すること。
• 長さ $ n $ と最小距離 $ d $ のLCD符号の最大サイズ $ LCK[n,d] $ に対する改善された下界の表を提供すること。
• BIBD（平衡不完全ブロックデザイン）の接続行列がLCD符号を生成するための組合せ的条件を確立すること。
• 直交行列とLCD符号生成の関係、特にシステム的生成行列を介した関係を調査すること。

提案手法

• 双対性と内積制約を用いて、$ LCK[n,d] $、すなわちLCD符号の最大サイズに対する線形計画法による上限を導出する。
• $ GG^T = I_n $ を満たす $ \mathbb{F}_2 $ 上の直交行列 $ G $ を用い、その行空間からLCD符号を生成する。
• $ R_k $ 上の符号から二進符号へのグレイ写像 $ \phi_k $ を適用し、$ GG^T $ が正則である場合にLCD性質を保存することを活用する。
• 自己双対符号とそのシステム的生成行列を用い、$ GG^T = I_n $ または $ J_n - I_n $ の条件を満たすことでLCD符号を構成する。
• $ (b,v,k,r,\lambda) $ をパラメータとする2-design（BIBD）の接続行列を用い、$ rk(r-\lambda) \not\equiv 0 \pmod{2} $ であれば、その行空間がLCD符号を生成することを示す。
• $ n \leq 24 $ に対して、拡張された2次剰余符号、自己双対符号データベース、および直交行列の群による生成を用いて、$ LCK[n,d] $ の下界を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCD符号に対する線形計画法による上限を、標準的な上限よりもタイトに導出する方法は何か？
• RQ2 直交行列、自己双対符号、または対称デザインなどの組合せ的構造を用いて、新たなLCD符号を構成する方法は何か？
• RQ3 BIBDの接続行列がLCD符号を生成する条件は何か？
• RQ4 環 $ R_k $ 上の符号をグレイ写像を介して用いることで、パrametersが改善された二進LCD符号が得られるか？
• RQ5 $ \mathbb{F}_2 $ 上の直交行列は、1つの自己双対符号から複数のLCD符号を生成するのにどのように関係するか？

主な発見

• 提案された $ LCK[n,d] $ に対する線形計画法による上限は、多くのパrameterセットにおいて標準的な線形計画法の上限よりも厳密にタイトである。
• $ n=12 $ の場合、拡張されたゴレイ符号から得られる直交行列は、パラメータ $[12,6,3]$, $[12,4,4]$, および $[12,8,2]$ のLCD符号を生成する。
• $ GG^T = I_n $ であるとき、行列 $ G $ は $ \mathbb{F}_2 $ 上のLCD符号を生成し、そのグレイ写像 $ \phi_k $ による像は、長さ $ 2^k n $ の $ \mathbb{F}_2 $ 上のLCD符号を生成する。
• $ 2-(v,k,\lambda) $ デザインの接続行列 $ Q $ は、$ rk(r-\lambda) \not\equiv 0 \pmod{2} $ であれば、LCD符号を生成する。このとき最小距離は $ 2(r-\lambda) $ 以上である。
• $ LCK[n,d] $ の下界の表は $ n=24 $ まで含まれており、直交行列および環に基づく構成によって、従来の下界を改善している。
• $ R_k $ 上では長さ1の非自明なLCD符号は存在せず、$ C \cap C^\perp $ は常に非自明なソープル $ \{0, u_1u_2\cdots u_k\} $ を含むためである。