[論文レビュー] The common solutions to pseudomonotone equilibrium problems

Dang Van Hieu|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、擬単調な双関数を含む均衡問題の共通解（CSEP）を解くために、並列ハイブリッド外勾配カット法とサイクリックハイブリッド外勾配カット法の2つの反復的アルゴリズムを提案する。これらのアルゴリズムは、既存の外勾配法を擬単調性に対応させるように拡張し、標準的な仮定の下で実ヒルバート空間内での強い収束を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we propose two iterative methods for finding a common solution of a finite family of equilibrium problems for pseudomonotone bifunctions. The first is a parallel hybrid extragradient-cutting algorithm which is extended from the previously known one for variational inequalities to equilibrium problems. The second is a new cyclic hybrid extragradient-cutting algorithm. In the cyclic algorithm, using the known techniques, we can perform and develop practical numerical experiments.

研究の動機と目的

• 複数の擬単調な双関数を含む均衡問題（CSEP）の共通解を効率的に見つける反復的アルゴリズムの開発。
• 変分不等式から均衡問題への外勾配法の拡張を、弱い擬単調性仮定の下で行う。
• 反復列が実ヒルバート空間内での解集合に強い収束することを保証する。
• 特に大規模問題に対して、既知の射影技術を用いて実装可能な実用的数値スキームを提供する。
• 共通解問題（CSEP）としての凸順 feasible 問題、固定点問題、変分不等式問題の既存結果を特別な場合として統一・一般化する。

提案手法

• 擬単調な双関数を用いて、2つの強い凸部分問題を交互に解く並列ハイブリッド外勾配カットアルゴリズムを提案する。
• インデックス $[n]$ が $1, \dots, N$ を巡回するサイクリック選択戦略を採用し、家族に属する各双関数を逐次処理する。
• 内積不等式で定義される半空間 $H_n$ および $W_n$ への射影ステップを用いて、解集合への収束を保証する。
• $x_{n+1} = P_{H_n \cap W_n}(x_0)$ の明示的射影公式を適用し、$v_n = x_n + \gamma_n(z_n - x_n)$ から導かれる閉形式表現を用いる。
• 収束を保証するため、$0 < \lambda \leq \lambda_n \leq \mu < 1/L$ および $0 < \epsilon \leq \gamma_n \leq 1/2$ を満たす緩和パラメータ $\lambda_n$ と $\gamma_n$ を実装する。
• 逐次射影を通じて妥当性を維持し、強い収束を保証するハイブリッド法フレームワークに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な正則化が強い単調性の欠如により失敗する、擬単調な双関数を含む均衡問題に、外勾配法を拡張することは可能か？
• RQ2 複数の擬単調な双関数を含む共通解問題（CSEP）を効率的に解くために、並列およびサイクリックなアルゴリズムをどのように設計できるか？
• RQ3 ステップサイズおよびパラメータにどのような条件を課すと、反復列が解集合に強い収束するか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、特に $N$ が大きい場合に、既知の射影技術を用いて実装可能か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、凸順 feasible 問題、固定点問題、変分不等式問題の既存結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 並列ハイブリッド外勾度カット法は、擬単調性および標準的な連続性仮定の下で、初期点 $x_0$ の解集合 $F$ への射影 $P_F(x_0)$ に強い収束する。
• サイクリック法は、Lipschitz連続性および有界性条件を満たす擬単調作用素 $A_i$ に適用された場合、$P_{\bar{F}}(x_0)$ に強い収束を保証する。
• 収束速度は $\|x_{n+1} - x_n\| \to 0$、$\|y_n - x_n\| \to 0$、および $\|z_n - x_n\| \to 0$ として $n \to \infty$ のとき特徴づけられ、漸近的安定性を示す。
• $x_{n+1}$ の明示的射影公式が導出され、ベクトル演算および内積を用いた実装が可能になる。
• $N=1$ の場合、[20] の既存結果に還元され、単調な変分不等式に関する先行研究と整合性が確認される。
• サイクリック構造により逐次処理が可能であり、$N$ が大きい場合でも安定であるため、本手法は大規模問題に対しても頑健である。数値実験は [23] の技術を用いて実施可能である。