[論文レビュー] The Common Structure For Objects In Aperiodic Order And The Theory Of Local Matching Topology

Yasushi Nagai|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイル張り、デローネ集合、およびその他の准周期的対象を一般化する抽象的パターン空間を導入することで、准周期的順序の統一的位相的枠組みを確立する。これらの空間に局所一致位相と一様構造を定義し、弱い条件下でハウスドルフ分離性と完備性を証明するとともに、有限局所的複雑性（FLC）が連続的ハルのコンパクト性を意味することを示している。これは、ユークリッド空間から一般の距離空間（群作用を伴う）への主要な結果の拡張である。

ABSTRACT

In aperiodic order, non-periodic but "ordered" objects such as tilings, Delone sets, functions and measures are investigated. In this article we depict the common structure of these objects by using the general framework of abstract pattern spaces. In particular, using the common structure we define local matching topology and uniform structure for objects such as tilings in quite a general space and a symmetry group. We prove Hausdorff property of the topology and the completeness of the uniform structure under a mild assumption. We also prove finite local complexity implies the compactness of the continuous hull and often the converse holds.

研究の動機と目的

• タイル張り、デローネ集合、関数などの准周期的対象を、共通の数学的構造の下で統一的に扱うこと。
• ユークリッド空間における既存の構成を一般化する、抽象的パターン空間における局所一致位相と一様構造を定義すること。
• 弱い仮定の下で、局所一致一様構造のハウスドルフ性と完備性を証明すること。
• 有限局所的複雑性（FLC）が、この一般設定における連続的ハルのコンパクト性を意味することを確立すること。
• 追加条件のもとで、連続的ハルのコンパクト性がFLCを意味することを示し、逆を確立すること。

提案手法

• 切断操作と群作用を用いて、准周期的対象の共通する構造的特徴を公理化し、抽象的パターン空間を定義する。
• 対称性群Γ内のコンパクト集合と近傍に基づく非近傍を用いて、局所一致位相を定義する。
• コンパクト集合K ⊂ XとΓ内の近傍Vに対して、U_{K,V} = {(P,Q) | P∧K = γ(Q∧K) for some γ ∈ V} で与えられる非近傍の基底を用いて、局所一致一様構造を定義する。
• 弱い仮定のもとで、位相がハウスドルフ（命題3.7）かつ距離化可能（系3.8）であることを証明する。
• 対角線化の議論を用いて、抽象的パターン空間の部分空間における局所一致一様構造の完備性を確立する（定理3.19）。
• 完備性と全有界性を用いて、FLCが連続的ハルのコンパクト性を意味することを証明する（定理3.25）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的パターン空間における局所一致位相は、弱い仮定のもとでハウスドルフ位相を与えるか？
• RQ2 環境空間が適切な距離空間で、適切な群作用を伴うとき、抽象的パターン空間における局所一致一様構造は完備か？
• RQ3 有限局所的複雑性（FLC）は、この一般枠組みにおいて連続的ハルのコンパクト性を意味するか？
• RQ4 追加条件のもとで、連続的ハルのコンパクト性がFLCを意味するか？
• RQ5 局所的導出は、FLCおよび連続的ハルのコンパクト性の遺伝にどのように影響するか？

主な発見

• 弱い仮定のもとで、抽象的パターン空間における局所一致位相はハウスドルフである。これは位相的分離性を保証する。
• 群作用が適切で、空間が適切なとき、抽象的パターン空間の部分空間における局所一致一様構造は完備である。
• 有限局所的複雑性（FLC）は、局所一致位相における連続的ハルのコンパクト性を意味する。これは、R^dにおける既知の結果を一般の距離空間へと拡張したものである。
• 追加仮定として、各コンパクト集合K ⊂ Xに対してA(P∧K)が有限であるとすれば、連続的ハルのコンパクト性はFLCを意味する。
• Γ作用に関して有限個のタイプをもつデローネ集合およびタイル張りに関して、FLCと連続的ハルのコンパクト性は同値である。
• この結果により、古典的なFLCとハルのコンパクト性の同値性は、ユークリッド空間を超えて、等長群作用を伴う一般の適切な距離空間へと拡張された。