[論文レビュー] The Commutation Relation for Cavity Mode Operators

Fesseha Kassahun|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Photonic and Optical Devices被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、駆動されたキャビティと二準位原子が相互作用する系におけるキャビティモード演算子の修正された交換関係を導出している。標準的な $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ は自由キャビティモードに対してのみ有効であり、原子との相互作用およびリザボアのノイズが非自明な補正項をもたらし、$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$ となる。ここで $\gamma_c = 4g^2/\kappa$ である。この結果は、強い原子-キャビティ結合下では通常の交換関係が破綻することを示している。

ABSTRACT

We have obtained the commutation relation for a cavity mode driven by coherent light and interacting with a two-level atom. We have found that the commutation relation for a free cavity mode with or without photons is just the usual commutation relation. However, the commutation relation for a cavity mode, which is interacting with a two-level atom, turns out to be different from the usual one.

研究の動機と目的

• 駆動されたコherent光によって駆動される二準位原子と相互作用するキャビティモードに対して、標準的な交換関係 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ が有効であるかどうかを調査すること。
• 真空リザボアのノイズおよび原子-キャビティ結合がキャビティモード演算子の交換関係に与える影響を検討すること。
• 合成光モード $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ の超位置演算子が標準的な交換関係を保つ条件を特定すること。
• 駆動キャビティ内の原子的相互作用および散乱効果を両立させる修正された交換関係を導出すること。

提案手法

• キャビティ-原子相互作用（$ig(\hat{\sigma}^\dagger\hat{a} - \hat{a}^\dagger\hat{\sigma})$）およびキャビティ-駆動相互作用（$i\lambda(\hat{b}\hat{a}^\dagger - \hat{b}^\dagger\hat{a})$）を含む全ハミルトニアンを定式化する。
• 減衰（$\kappa$）とノイズを組み込んだ、ノイズ演算子 $\hat{F}(t)$ を用いた量子ランジュバン方程式を用いて $\hat{a}(t)$ の時間発展を記述する。
• 原子とノイズ演算子の統計的独立性を仮定し、$\langle\hat{\sigma}\rangle$ および $\langle\hat{\eta}_a\rangle$ の非線形連立方程式に対して大時間近似を適用する。
• 期待値とノイズ項を組み合わせることで定常状態の交換子 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger]$ を導出し、$\gamma_c^2 / (8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c)$ に比例する補正項が得られる。
• 合成演算子 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ を定義し、モードが相関のない状態であると仮定して $[\hat{c}, \hat{c}^\dagger]$ を分析する。
• 合成モード $\hat{c}$ の平均光子数が加法的であることを保証するため、$\langle\hat{a}^\dagger\hat{b}\rangle - \langle\hat{b}^\dagger\hat{a}\rangle = 0$ の条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャビティモードが二準位原子と相互作用する場合、標準的な交換関係 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ は依然として有効であるか？
• RQ2 コherent駆動および真空リザボアのノイズがキャビティモード演算子の交換関係に与える影響は何か？
• RQ3 合成モード $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ の交換関係の形は何か？ また、どのような条件下で標準形に簡略化されるか？
• RQ4 駆動がゼロ（$\varepsilon = 0$）または結合定数がゼロ（$g = 0$）の極限において、交換子はどのように変化するか？
• RQ5 修正された交換子は、平均光子数や結合強度といった測定可能な量で表現できるか？

主な発見

• 標準的な交換関係 $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ は、相互作用やノイズのない自由キャビティモードに対してのみ成立する。
• 二準位原子と相互作用する系では、交換子は $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$ に修正される。ここで $\gamma_c = 4g^2/\kappa$ である。
• 駆動がない場合（$\varepsilon = 0$）には、交換子は $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 + \frac{\gamma_c}{\kappa}$ に簡略化され、原子-キャビティ結合によってもかかわらず、真空中でも修正が生じることが示唆される。
• 原子が存在しない自由キャビティ（$g = 0$）では、交換子は $[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$ に戻り、相互作用がない場合の標準形が確認される。
• キャビティ内の平均光子数は $\overline{n} = \frac{4\varepsilon^2}{\kappa^2} - \frac{\gamma_c}{\kappa} \cdot \frac{4\varepsilon^2}{8\varepsilon^2 + \kappa\gamma_c}$ で与えられ、結合定数と駆動の非自明な依存性を示している。
• 合成演算子 $\hat{c} = \hat{a} + i\hat{b}$ は、モードが相関がなく、かつ同じまたはゼロのコherent振幅を持つ場合に限り、$[\hat{c}, \hat{c}^\dagger] = [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] + [\hat{b}, \hat{b}^\dagger]$ を満たす。