[論文レビュー] The commutative Moufang loops with minimum conditions for subloops II

N. I. Sandu|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Mathematics and Applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限非結合的可換ムーファン環（CML）における、中心的可解、中心的冪零、非不変結合的部分環などのさまざまな部分環タイプの最小条件の同値性を確立する。このような環が部分環の最小条件を満たすための必要十分条件は、特定の中心的可解性または冪零性クラスの部分環の最小条件を満たすことであると示され、さらにすべての無限非結合的部分環が正規である場合には、結合子部分環が有限であり、かつ環が中心的可解性クラス3以下であることも示している。

ABSTRACT

It is proved that the following conditions are equivalent for an infinite non-associative commutative Moufang loop $Q$: 1) $Q$ satisfies the minimum condition for subloops; 2) if the loop $Q$ contains a centrally solvable subloop of class $s$, then it satisfies the minimum condition for centrally solvable subloops of class $s$; 3) if the loop $Q$ contains a centrally nilpotent subloop of class $n$, then it satisfies the minimum condition for centrally nilpotent subloops of class $n$; 4) $Q$ satisfies the minimum condition for non-invatiant associative subloops. The structure of the commutative Moufang loops, whose infinite non-associative subloops are normal, is examined.

研究の動機と目的

• 無限非結合的可換ムーファン環（CML）で部分環の最小条件を満たすものについての特徴付けを行う。
• 部分環の最小条件と、特定のクラスの中心的可解／冪零部分環の最小条件との関係を調査する。
• すべての無限非結合的部分環が正規であるCMLの構造を検討し、結合子部分環および可解性クラスに与える影響を同定する。
• 無限非結合的CMLにおいて、部分環の最小条件と非不変結合的部分環の最小条件との同値性を確立する。

提案手法

• CMLにおける中心的可解性および冪零性を、下部中心系列および導出系列を用いて定義し、$ Q_n $ および $ Q^{(n)} $ をそれぞれ第 $ n $ 項を表す。
• Bruck-Slaby定理を適用して、$ n $ 個の生成元を持つCMLの冪零性クラスを $ n-1 $ 以下で有界化する。
• 結合子に関する恒等式、たとえば $ (x,y,z)^3 = 1 $ および $ (x,y,z) = (y^{-1},x,z) $ を用いて、環の構造および正規性を分析する。
• 内部写像群 $ I(Q) $ および移動群 $ abla(Q) $ を用いて、正規部分環および自己同型を研究する。
• 「安定的」中心的可解性／冪零性の概念を適用：無限部分環がクラス $ n $ であるとき、そのすべての無限部分環が同じクラスの真部分環を含む場合、その部分環は安定的中心的可解（または冪零）と呼ぶ。
• 中心化子 $ Z_Q(H) $ 及びその $ Q $ における正規性を分析し、非最小条件の仮定の下で矛盾を導くために、有限指数の正規部分環 $ C(H) $ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限非結合的CMLにおいて、部分環の最小条件、クラス $ s $ の中心的可解部分環の最小条件、クラス $ n $ の中心的冪零部分環の最小条件、非不変結合的部分環の最小条件は同値であるか？
• RQ2 すべての無限非結合的部分環が正規であるCMLでは、どのような構造的性質が生じるか？
• RQ3 クラス $ n $ の安定的中心的可解または冪零部分環の存在は、そのクラスの無限減少部分環列の存在を意味するか？
• RQ4 無限非結合的CMLにおいて、部分環の最小条件は非不変結合的部分環の最小条件と同値か？
• RQ5 すべての無限非結合的部分環が正規であるCMLにおいて、中心的可解性クラスの最大値は何か？

主な発見

• 無限非結合的CMLにおいて、部分環の最小条件は、任意の固定クラス $ s $ の中心的可解部分環の最小条件、および任意の固定クラス $ n $ の中心的冪零部分環の最小条件と同値である。
• CMLにクラス $ n $ の安定的中心的可解または冪零部分環が存在することは、そのクラスの無限減少部分環列の存在と同値である。
• 無限非結合的CMLにおいて、部分環の最小条件は非不変結合的部分環の最小条件と同値である。
• すべての無限非結合的部分環が正規であるCMLでは、結合子部分環 $ Q' $ は有限であり、かつ環は中心的可解性クラス3以下である。
• このようなCMLにおいて、第二導出部分環 $ Q^{(2)} $ は結合的でなければならない。また $ Q' = Q^{(2)} $ であるが、$ Q' $ が中心的冪零である以上、これは $ Q^{(2)} $ が結合的でない限り矛盾を引き起こす。
• CMLは、可除中心部分群 $ D $ と有限CML $ M $ の直積に分解され、$ L \neq M $ ならば $ DL $ は無限非結合的正規部分環となり、$ L $ の非正規性に矛盾する。