[論文レビュー] The Compactification of the Moduli Space of Convex RP(2) Surfaces, I

John Loftin|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双曲的アフィン球面対応と Wang の発展写像を用い、穴あき点およびノーダル曲線付近におけるホロノミーと垂直ねじれパラメータの振る舞いを分析することで、$g \geq 2$ の種数をもつ曲面上の凸 $\mathbb{R}P^2$ 構造のモジュライ空間のコンパクト化を確立する。立方微分が退化する際、ホロノミー型とねじれパラメータが連続的に変化することを示し、穴あき点におけるホロノミーと垂直ねじれは、立方微分の留数によって決定される。

ABSTRACT

There is a canonical identification, due to the author, of a convex real projective structure on an orientable surface of genus g and a pair consisting of a conformal structure together with a holomorphic cubic differential on the surface. The Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves then suggests a partial compactification of the moduli space of convex real projective structures: Allow the Riemann surface to degenerate to a stable nodal curve on which there is a regular cubic differential. We construct convex real projective structures on open surfaces corresponding to this singular data and relate their holonomy to earlier work of Goldman. Also we have results for families degenerating toward the boundary of the moduli space. The techniques involve affine differential geometry results of Cheng-Yau and C.P. Wang and a result of Dunkel on the asymptotics of systems of ODEs.

研究の動機と目的

• 凸 $\mathbb{R}P^2$ 構造と、リーマン面 $\Sigma$ および極の位数が 3 以下の高次微分形式 $U$ の組 $(\Sigma, U)$ の間の対応を拡張すること。
• このような立方微分をもつ、型が有限のリーマン面の穴あき点付近における $\mathbb{R}P^2$ 構造のホロノミーおよび垂直ねじれパラメータを分析すること。
• モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_g$ の境界に近づく族において、ホロノミー型と垂直ねじれパラメータが連続的に変化することを証明すること。
• 立方微分の留数データを幾何的不変量と関連付けることで、凸 $\mathbb{R}P^2$ 構造の変形空間 $\mathcal{G}_g$ の連続的コンパクト化を確立すること。

提案手法

• Wang の一次偏微分方程式系 (18–28) を用いて、$\mathbb{R}^3$ 内の双曲的アフィン球面の構造方程式を統合し、Cheng-Yau の対応により凸 $\mathbb{R}P^2$ 構造に対応させる。
• 穴あき点に極の位数 3 をもつリーマン面上で、立方微分 $U$ をもつ場合に、共形因子 $u$ に対する非線形偏微分方程式 (1) を、アンザッツ計量を用いて穴あき点付近で $u$ のバリアを構成することで解く。
• 穴あき点周りのホロノミー行列の漸近的挙動を、無限遠で定数係数系に還元し、$L^1$ に有界な摂動をもつ線形系に対する Levinson の定理を用いて分析する。
• 命題 24 を適用し、線形化系に対して連続的かつ指数的に減衰する解の存在を示し、ホロノミー行列の固有値を立方微分 $U$ の留数 $R$ の言語で表現できるようにする。
• $H_{-R} = H_R^{-1}$ であることに着目し、留数の符号反転に対するホロノミー型の双対性を関連づけ、$\operatorname{Re} R > 0$ ならば垂直ねじれパラメータが $+\infty$、$\operatorname{Re} R < 0$ ならば $-\infty$ であることを示す。
• 双曲的アフィン球面およびその漸近的錐の理論を適用し、得られる $\mathbb{R}P^2$ 構造の完備性と凸性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面がノーダル曲線に退化する際、凸 $\mathbb{R}P^2$ 構造のホロノミー型と垂直ねじれパラメータはどのように振る舞うか。
• RQ2 穴あき点におけるホロノミックな立方微分 $U$ の留数 $R_i$ と、対応する $\mathbb{R}P^2$ 構造のホロノミー型との間の正確な関係は何か。
• RQ3 垂直ねじれパラメータは留数 $R_i$ から決定可能か。また、$\operatorname{Re} R_i \to 0$ のときの挙動はいかなるか。
• RQ4 立方微分が極の位数 3 をもつ穴あき点付近におけるホロノミー行列の漸近的挙動はどのように振る舞うか。
• RQ5 極の位数 3 をもつ立方微分の空間からホロノミーおよびねじれパラメータへの写像は、ノーダル曲線への退化においても連続的か。

主な発見

• 極の位数 3 をもつホロノミックな立方微分 $U$ に対して、留数 $R_i$ は方程式 (41) の根を通じてホロノミー行列の固有値を決定し、$e^{2\pi\lambda_i}$ が固有値を与える。
• 穴あき点における垂直ねじれパラメータは、$\operatorname{Re} R_i > 0$ ならば $+\infty$、$\operatorname{Re} R_i < 0$ ならば $-\infty$ であり、符号は $\operatorname{Re} R_i$ の符号と一致する。
• ホロノミー型は留数 $R_i$ によって決定され、$\operatorname{Re} R_i \neq 0$ のとき、$\mathbb{C}$ 上の $R_i$ からホロノミー型への写像は二対一である。この二通りの状況は垂直ねじれパラメータによって区別される。
• ホロノミー行列は $H_{-R} = H_R^{-1}$ を満たし、これは、穴あき点を囲む二つの曲面を貼り合わせる際の反対向きの双対性を反映している。
• Deligne-Mumford のコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上の正則立方微分の空間は、ホロノミー型と垂直ねじれパラメータの連続的拡張をもつ。これは定理 6 で述べられている。
• 極の位数 3 をもつ立方微分をもつ型が有限のリーマン面上で、偏微分方程式 (1) の解が存在し、それによって得られる $\mathbb{R}P^2$ 構造は完備かつ凸であり、穴あき点付近の線形常微分方程式系を用いてホロノミーが計算可能である。