[論文レビュー] The comparison property of amenable groups

Tomasz Downarowicz, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有限生成部分群が指数的成長より小さい群（例えば、ほとんどノルム的およびグリゴルチキン群など）の可算なアーメン群が、0次元コンパクト距離空間への作用に対して比較性を満たすことを確立する。著者らは、部分的等変写像を拡張するための新たな道具「補正鎖（correction chain）」を導入し、このような群が任意に良いFølner性を持つ動的タイル張りを有することを証明する。これにより、比較性が導かれる。

ABSTRACT

Let a countable amenable group $G$ act on a \zd\ compact metric space $X$. For two clopen subsets $\mathsf A$ and $\mathsf B$ of $X$ we say that $\mathsf A$ is \emph{subequivalent} to $\mathsf B$ (we write $\mathsf A\preccurlyeq \mathsf B$), if there exists a finite partition $\mathsf A=\bigcup_{i=1}^k \mathsf A_i$ of $\mathsf A$ into clopen sets and there are elements $g_1,g_2,\dots,g_k$ in $G$ such that $g_1(\mathsf A_1), g_2(\mathsf A_2),\dots, g_k(\mathsf A_k)$ are disjoint subsets of $\mathsf B$. We say that the action \emph{admits comparison} if for any clopen sets $\mathsf A, \mathsf B$, the condition, that for every $G$-invariant probability measure $μ$ on $X$ we have the sharp inequality $μ(\mathsf A)

研究の動機と目的

• 可算なアーメン群が0次元コンパクト距離空間への作用に対して比較性を満たすことを確立すること。
• 部分群が指数的成長より小さい群——特に、指数的成長を示す広範なクラス——の作用が、必然的に比較性を有することを特定すること。
• 群作用の文脈において、部分的等変写像を拡張するための新しい技術的道具「補正鎖（correction chain）」を構築すること。
• 比較性と強いFølner性を有する動的タイル張りの存在との関係を結ぶこと。
• 自由作用に制限されたタイル張りの性質が、すべての作用に対して比較性を示すかを調査すること。

提案手法

• 部分的写像の反復的改善を可能にする疑似軌道に類似した構造である「補正鎖（correction chain）」の概念を導入する。
• 補正鎖を用いて、閉包集合上に定義された写像を等変性および不交和条件を保ちつつ、より大きな定義域へ拡張する。
• 補正鎖技法を用いて、任意に良いFølner性を持つ動的タイル張りを構成する。
• タイル構造を用いて、シフトに等変的な単射を閉包集合間で実現するブロック符号を定義する。
• このようなタイル張りの存在を活用して、群作用下で部分的に同型な集合がより大きな集合へ写されることが示され、比較条件を満たすことを証明する。
• 記号的拡張および因子写像の理論を応用し、比較性が強い動的性質を有するタイル張りの存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算なアーメン群が0次元コンパクト距離空間への作用は、すべて比較性を満たすか？
• RQ2 指数的成長を示す群、特にグリゴルチキン群のような中間成長群に対しても、比較性が確立可能か？
• RQ3 群作用における閉包集合間の部分的等変写像を拡張する一般的手法は存在するか？
• RQ4 良いFølner性を有する動的タイル張りの存在と比較性との関係は何か？
• RQ5 自由作用に制限されたタイル張りの性質が、同じ群のすべての作用に対して比較性を示すか？

主な発見

• 有限生成部分群が指数的成長より小さい可算なアーメン群のすべての作用に対して、比較性が成り立つ。
• 有名な中間成長群であるグリゴルチキン群は、0次元コンパクト距離空間へのすべての作用に対して比較性を満たす。
• 比較性を有する群のクラスには、すべてのほとんどノルム的群が含まれる。これは、多項式的（したがって指数的成長より小さい）成長を示すためである。
• 自由作用において、任意に良いFølner性を持つ動的タイル張りの存在は、比較性と同値である。
• 補正鎖構成により、部分的等変写像を拡張することが可能であり、これは完全なマーカー性質が欠如する状況での比較性の証明に不可欠である。
• 本稿では、自由作用に制限されたタイル張りの性質が比較性を示すことを確立しているが、非自由作用についてはまだ予想のままである。