[論文レビュー] The competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$

Yoshio Sano|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、半順序と区間順序を一般化する条件 $C(p)$ および $C'(p)$ を満たす有向グラフの競争・共通敵グラフを特徴づけている。その結果、このようなグラフは、$r \geq p$ かつ $q \geq 2$ のとき $K_r \cup I_q$ として、または $q \geq 1$ のとき $I_q$ のみとして、正確に非交差和に分解されることを示している。この結果は、構造的制約の下で、競争グラフに関する先行研究を競争・共通敵設定に拡張したものである。

ABSTRACT

S. -R. Kim and F. S. Roberts (2002) introduced the following conditions $C(p)$ and $C'(p)$ for digraphs as generalizations of the condition for digraphs to be semiorders. The condition $C(p)$ (resp. $C'(p)$) is: For any set $S$ of $p$ vertices in $D$, there exists $x \in S$ such that $N^+_D(x) \subseteq N^+_D(y)$ (resp. $N^-_D(x) \subseteq N^-_D(y)$) for all $y \in S$, where $N^+_D(x)$ (resp. $N^-_D(x)$) is the set of out-neighbors (resp. in-neighbors) of $x$ in $D$. The competition graph of a digraph $D$ is the (simple undirected) graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) eq \emptyset$. Kim and Roberts characterized the competition graphs of digraphs which satisfy Condition $C(p)$. The competition-common enemy graph of a digraph $D$ is the graph which has the same vertex set as $D$ and has an edge between two distinct vertices $x$ and $y$ if it holds that both $N^+_D(x) \cap N^+_D(y) eq \emptyset$ and $N^-_D(x) \cap N^-_D(y) eq \emptyset$. In this note, we characterize the competition-common enemy graphs of digraphs satisfying Conditions $C(p)$ and $C'(p)$.

研究の動機と目的

• 条件 $C(p)$ および $C'(p)$ を満たす有向グラフの競争・共通敵グラフを特徴づけること。これらは半順序と区間順序を一般化する。
• これらの構造的制約の下で、競争グラフに関する先行結果を競争・共通敵グラフの変種に拡張すること。
• ニッチグラフおよび $C^*(p)$/$C'^*(p)$ 条件に関する未解決問題を解消し、現在の特徴づけの範囲を特定すること。

提案手法

• 競争・共通敵グラフを、有向グラフ $D$ と同じ頂点集合を持つ無向グラフとして定義する。頂点 $x$ と $y$ の間に辺があるのは、$N^+_D(x) \cap N^+_D(y) \neq \emptyset$ かつ $N^-_D(x) \cap N^-_D(y) \neq \emptyset$ であるとき。
• 条件 $C(p)$ および $C'(p)$ の構造的定義を用いる：任意の $p$ 頂点部分集合 $S$ に対して、$S$ 内の他のすべての頂点の外隣接集合に含まれるような、$S$ 内の頂点 $x$ が存在する。
• もし $G = K_r \cup I_q$ で $r \geq p$ かつ $q \geq 2$ ならば、そのような $G$ が $C(p)$ および $C'(p)$ を満たすループのない有向グラフ $D$ の競争・共通敵グラフであることを、明示的な構成により示す。
• 逆を示すために、$r \geq p$ ならば $q \geq 2$ でなければならないことを、ループのない性質とフット/頂点包含性質に基づく背理法により示す。
• 有向無閉路グラフおよび二重競争数の結果を応用し、小さい成分と孤立頂点の和集合である場合を特徴づける。
• 半順序と区間順序が $C(2)$ および $C'(2)$ を満たすことを活用し、定理1.2で3つのグラフクラスの同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 $C(p)$ および $C'(p)$ を満たす有向グラフ（$p \geq 2$）の競争・共通敵グラフはどのようなものか？
• RQ2 条件 $C(p)$ および $C'(p)$ の構造的制約は、競争・共通敵グラフの可能な形態にどのように影響するか？
• RQ3 非孤立成分が $p$ 個未満の頂点を持つ場合に、特徴づけを拡張できるか？
• RQ4 有向無閉路性と二重競争数は、$C(p)$ および $C'(p)$ の下で可能な競争・共通敵グラフをどのように制限するか？
• RQ5 半順序および区間順序の競争・共通敵グラフは、一般の $C(p)$/$C'(p)$ の場合とどのように関係するか？

主な発見

• 条件 $C(p)$ および $C'(p)$ を満たす有向グラフの競争・共通敵グラフは、ある $r \geq p$ および $q \geq 2$ に対して $K_r \cup I_q$ に同型である。あるいは $q \geq 1$ のとき $I_q$ のみである。
• もし $G = K_r \cup I_q$ で $r \geq p$ かつ $q \geq 2$ ならば、$C(p)$ および $C'(p)$ を満たすループのない有向グラフ $D$ が存在し、その競争・共通敵グラフが $G$ に一致する。明示的な構成により示される。
• $r \geq p$ のとき、$q \geq 2$ であることは必須である。$q < 2$ ならば、$C(p)$ のフット条件からループが生じるという矛盾が生じる。
• 有向無閉路グラフで $C(p)$ および $C'(p)$ を満たす場合、競争・共通敵グラフは $I_q$（$q \geq 1$）、$K_r \cup I_q$（$r \geq p$、$q \geq 2$）、または $H \cup I_q$（$|V(H)| < p$、$I_H = \emptyset$、$q \geq dk(H)$）のいずれかである。
• 定理1.2で、半順序の競争・共通敵グラフ、区間順序の競争・共通敵グラフ、$r \geq 2$ かつ $q \geq 2$ の $K_r \cup I_q$ 形式のグラフの3つが同値であることが示された。
• 本論文は、$C^*(p)$、$C'^*(p)$、およびニッチグラフに関する未解決問題を特定し、今後の研究の方向性として、特徴づけ枠組みの拡張を示唆している。