[論文レビュー] The complement of the closed unit ball in $\mathbb C^3$ is not subelliptic

Rafael B. Andrist, Erlend Fornæss Wold|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

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ひとこと要約

この論文は、ℂ³（およびそれ以上の次元）における閉単位球の補集合が、次元≥3における正則ベクトル束のハルトックス型拡張定理を確立することで、非部分エルミート的であることを証明している。主な結果は、この多様体上のスプレイが境界を越えて正則に拡張できないことであり、これは部分エルミート的であるために必要な有限支配族条件に反する。これにより、オーカ理論の階層における真の包含関係が示された。

ABSTRACT

In this short note we show that $\mathbb C^n\setminus\bar{\mathbb B^n}$ is not subelliptic for $n \geq 3$. This is done by proving a Hartogs type extension theorem for holomorphic vector bundles bundles.

研究の動機と目的

• ℂⁿ における閉単位球の補集合が n≥3 のとき部分エルミート的であるかどうかを特定すること。
• 特に非ステイン多様体に対して、部分エルミート的条件の妥当性を複素幾何学的観点から検討すること。
• オーカ理論的クラスの包含関係、すなわち、楕円的 ⊆ 部分エルミート的 ⊆ オーカ的 ⊆ 強く支配的 ⊆ 支配的 の明確化。
• 部分エルミート的 ⊆ オーカ的 が真の包含関係であることを示すために、強く支配的ではあるが部分エルミート的でない多様体を構成すること。
• 次元≥3における正則ベクトル束のハルトックス型拡張結果を技術的基盤として確立すること。

提案手法

• シウの整合的解析層に関する結果から導かれる、次元 n≥3 における正則ベクトル束のハルトックス型拡張定理を用いる。
• ℂⁿ における閉単位球の補集合上の正則スプレイに、その拡張結果を適用する。
• 有限個のスプレイの族を構成し、単位球の境界上の点におけるその微分像を分析する。
• スプレイ族が支配的でない点の集合が解析的集合であることを示し、部分エルミート的であると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• ℂⁿ⧵ cl(ℬⁿ) へのスプレイは球内に写像できないが、拡張によってそのような写像が強制され、ターゲット条件に反する。
• 整合的層の拡張および命題2.2による同型拡張を用いて、層の局所自明性と全体的拡張を証明する層論的技法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ³ における閉単位球の補集合は部分エルミート的か？
• RQ2 n≥3 のとき、ℂⁿ⧵ cl(ℬⁿ) に対してオーカの原理が成り立つか？
• RQ3 n≥3 のとき、ℂⁿ⧵ cl(ℬⁿ) 上の有限スプレイ族がすべての点で支配的になれるか？
• RQ4 強く支配的であるが部分エルミート的でない多様体が存在するか？
• RQ5 次元≥3 において、正則ベクトル束のハルトックス拡張性質が成り立つか？

主な発見

• ℂ³ における閉単位球の補集合は、境界の障害により、有限個のスプレイ族がすべての点で支配的になれないため、部分エルミート的でない。
• 次元 n≥3 において、正則ベクトル束のハルトックス型拡張定理が成り立つ。これにより、単位球の境界を越えての拡張が可能となる。
• スプレイの境界への拡張は矛盾を引き起こす。拡張可能ならば、スプレイは球内に写像されねばならず、ターゲット空間の条件に反する。
• 有限スプレイ族が支配的でない点の集合は解析的集合であり、境界上にそのような点が存在するため、部分エルミート的でない。
• この結果により、部分エルミート的 ⊆ オーカ的 が真の包含関係であることが示され、多様体は強く支配的であるが部分エルミート的でない。
• n=2 の場合は未解決であり、次元2ではハルトックス拡張結果が成り立たないため、ℂ²⧵ cl(ℬ²) の部分エルミート的性質は未解決のままである。