[論文レビュー] The complete evaluation of Rogers Ramanujan and other continued fractions with elliptic functions

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、楕円関数およびモジュラー形式を用いて、ロジャース＝ラマヌジャン連分数および関連する連分数の完全な代数的評価を提示する。これらの分数について、逆楕円ノーム $ q $ および完全楕円積分 $ K $ を用いた多項式方程式を導出し、ラマヌジャンの連分数が $ q^{-1} $ および $ K $ のみに依存する係数を持つ多項式の根であることを示す。主たる貢献は、$ q = e^{-/pi\sqrt{r}} $ の場合における $ R(q) $ の閉形式評価であり、根号およびモジュラー不変量を用いて表現される。

ABSTRACT

In this article we present evaluations of continued fractions studied by Ramanujan. More precisely we give the complete polynomial equations of Rogers-Ramanujan and other continued fractions, using tools from the elementary theory of the Elliptic functions. We see that all these fractions are roots of polynomials with coeficients depending only on the inverse elliptic nome-q and in some cases the Elliptic Integral-K. In most of simplifications of formulas we use Mathematica.

研究の動機と目的

• ロジャース＝ラマヌジャン連分数および関連連分数の完全な代数的評価を、初等的な楕円関数理論を用いて行う。
• これらの連分数の値が根である多項式方程式を導出し、その係数が逆楕円ノーム $ q^{-1} $ および完全楕円積分 $ K $ のみに依存することを示す。
• $ q = e^{-/pi\\sqrt{r}} $ の場合における $ R(q) $ の明示的閉形式表現を、モジュラー恒等式および特異モジュラー $ k_r $ の変換を用いて確立する。
• $ S(q) $ や $ Q(q) $ などの他の連分数に対しても同様の手法を拡張し、モジュラー方程式および特殊関数を用いてそれらの評価を示す。
• $ k_r $ が代数的であっても、対応する $ r $ は一般に有理数でないことを示し、モジュラーパラメータの有理数性に関する仮定に疑問を呈する。

提案手法

• 本稿は、$ |q| < 1 $ に対して、ロジャース＝ラマヌジャン連分数 $ R(q) = q^{1/5}/(1 + q/(1 + q^2/(1 + \cdots))) $ の標準的定義を用いる。
• 既知のラマヌジャンの恒等式、たとえば $ R^{-5}(q) - 11 - R^5(q) = f^6(-q)/(q f^6(-q^5)) $ を適用し、$ R(q) $ をモジュラー形式およびシータ関数と関連付ける。
• 逆楕円ノーム $ k_r $ は比 $ K(k_r')/K(k_r) = \sqrt{r} $ により定義され、$ k_r $ は $ q $、$ f(-q) $、および $ \Phi(-q) $ を用いて表現される。
• モジュラー変換および特異モジュラー $ M_5(r) $ を用いて、$ a_r = R^{-5}(q) - 11 - R^5(q) $ を変数とする5次方程式を $ R(q) $ について導出する。
• $ k_{25r} $ の評価は、$ w = \sqrt{k_r k_{25r}} $ のパラメトライゼーションを用い、$ L $ の有理関数を介して行い、$ k_r $、$ k_{25r} $、$ w $ を含む対称方程式を解く。
• 本手法は、複雑な代数的式の簡略化および $ R(q) $、$ S(q) $、$ Q(q) $ の多項式関係を導出するために、記号計算（Mathematica）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q = e^{-\pi\sqrt{r}} $ の場合に、楕円関数およびモジュラー恒等式のみを用いてロジャース＝ラマヌジャン連分数 $ R(q) $ を閉形式で評価できるか？
• RQ2 逆楕円ノーム $ q^{-1} $ および完全楕円積分 $ K(k_r) $ を用いて表した場合、$ R(q) $ が満たす多項式方程式は何か？
• RQ3 特異モジュラー $ k_r $ およびモジュラー群作用の下でのその変換を用いて、$ R(q) $ の代数的評価はどのように行えるか？
• RQ4 $ S(q) $ や $ Q(q) $ などの他の連分数の代数的構造は何か？ また、それらはモジュラー方程式を通じて $ R(q) $ とどのように関係するか？
• RQ5 $ k_r $ が代数的である場合、$ q = e^{-\pi\sqrt{r}} $ のパラメータ $ r $ は有理数であると仮定できるか？ また、これはモジュラー形式にどのような含意を持つのか？

主な発見

• $ q = e^{-\pi\sqrt{r}} $ の場合、ロジャース＝ラマヌジャン連分数は $ R(q) = \left(-\frac{11}{2} - \frac{a_r}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{125 + 22a_r + a_r^2}\right)^{1/5} $ を満たす。ここで $ a_r = R^{-5}(q) - 11 - R^5(q) $ である。
• $ a_r $ は明示的に $ a_r = \left(\frac{k_r'}{k_{25r}'}\right)^2 \sqrt{\frac{k_r}{k_{25r}}} M_5(r)^{-3} $ と与えられ、$ M_5(r) $ は $ M_5(r) $ を変数とする5次方程式を満たす。
• 本稿は、自由パラメータ $ L $ を用いた $ k_{25r} $ および $ k_r $ のパラメトライゼーションを導出する。ここで $ w = \sqrt{k_r k_{25r}} $ であり、$ L $ の有理関数を用いる。
• $ S(q) $ については、$ S(q) = \frac{(k_r)^{1/4}}{\sqrt{2}} $ を証明し、$ k_r $ の関数として直接表現可能であることを示す。
• $ Q(q) $ については、$ Q(q) = \frac{1}{2\pi} K(k_r) k_r $ を確立し、$ u = Q(q)/Q(q^2) $、$ v = Q(q^3)/Q(q^6) $ に対して、$ v^4 + u^4 - v^3 u^3 + 6v^2 u^2 - 16vu = 0 $ というモジュラー方程式を導出する。
• 本稿は、$ V(e^{-\pi}) $ および $ T(e^{-\pi\sqrt{2}}) $ の明示的評価を提供し、$ (3 - T)^3(3 + T)^3 / ((1 - T)(1 + T)) = 5832 $ が成り立つことを示す。