[論文レビュー] The complete separable extension property

Haskell P. Rosenthal|ArXiv.org|Apr 14, 1998

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、Sobczykの定理の新証明を用いて、バナッハ空間の古典的可分拡張性質（SEP）の作用素空間版——すなわち完全可分拡張性質（CSEP）および完全可分補完性質（CSCP）——を導入する。$Z_n$ がそれぞれ一様正確かつ単射作用素空間、または一様正確かつ可分単射作用素空間であるとき、無限直和 $(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ が CSEP や CSCP を満たすことを示し、これらの性質を持つ主要な作用素空間のクラスを特定する。

ABSTRACT

This work introduces operator space analogues of the Separable Extension Property (SEP) for Banach spaces; the Complete Separable Extension Property (CSEP) and the Complete Separable Complemention Property (CSCP). The results use the technique of a new proof of Sobczyk's Theorem, which also yields new results for the SEP in the non-separable situation, e.g., $(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ has the $(2+\ep)$-SEP for all $\ep>0$ if $Z_1,Z_2,...$ have the 1-SEP; in particular, $c_0 (\ell^\infty)$ has the SEP. It is proved that e.g., $c_0(\bR\oplus\bC)$ has the CSEP (where $\bR$, $\bC$ denote Row, Column space respectively) as a consequence of the general principle: if $Z_1,Z_2,...$ is a uniformly exact sequence of injective operator spaces, then $(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ has the CSEP. Similarly, e.g., $\bK_0 \defeq (\oplus_{n=1}^\infty M_n)_{c_0}$ has the CSCP, due to the general principle: $(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ has the CSCP if $Z_1,Z_2,...$ are injective separable operator spaces. Further structural results are obtained for these properties, and several open problems and conjectures are discussed.

研究の動機と目的

• バナッハ空間の古典的可分拡張性質（SEP）の作用素空間版を発展させ、完全可分拡張性質（CSEP）および完全可分補完性質（CSCP）を導入すること。
• Sobczykの定理を非可分設定に拡張するための新しい証明技法を用い、拡張ノルムおよび不変性に関する新結果を得ること。
• CSEP および CSCP を持つ可分な無限次元作用素空間を分類し、特にその完全同型型および構造的性質に焦点を当てる。
• 作用素空間の拡張および補完性の文脈において、単射性、正確性、および補完性の役割を調査すること。
• CSEP および CSCP を持つ主要作用素空間の完全同型分類に関する深遠な予想を提示・探求すること。

提案手法

• Sobczykの定理の新証明を応用し、非可分設定におけるSEPの不変性結果を導出する。特に $c_0(\ell^\infty)$ および $(\oplus Z_n)_{c_0}$ に注目する。
• cbノルム（完全有界ノルム）を用いて古典的SEPおよび補完性質を「完全に」量子化することで、CSEP および CSCP を定義する。
• Veechの議論によるノルム1のリフトを用い、$c_0$ が特定の上位空間において収縮的補空間であることを示し、2-SEP を得る。
• コンパクト作用素の補空間に含まれる補空間との関係を調べる中心的例として、作用素空間 $\mathbf{K}_0 = (\oplus M_n)_{c_0}$ の構造を用いる。
• 作用素空間における局所双対性および局所自己双対性の結果を応用し、$Z_n$-列およびその無限 $c_0$-和の構造を分析する。
• 作用素空間の一様正確性および単射性の概念を用い、$c_0$-和におけるCSEPおよびCSCPの十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Z_n$ が一様正確かつ単射作用素空間であるとき、$c_0$-和 $(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ が CSEP を満たすための条件は何か？
• RQ2 $c_0(\ell^\infty)$ における $(2+\varepsilon)$-SEP は、1-SEP を持つ空間列に関する一般原理から導けるか？
• RQ3 CSEP を持つ任意の可分な無限次元作用素空間は、予想4.2にリストされた7つの空間のいずれかと完全同型であるか？
• RQ4 $\mathbf{K}$ の無限次元補間部分空間は、命題4.4にリストされた11つの空間のいずれかとバナッハ同型であるか？
• RQ5 CSCP を持つ任意の作用素空間は、有限個の主要作用素空間の直和と完全同型であるか？

主な発見

• $Z_1, Z_2, \ldots$ が一様正確かつ単射作用素空間であるならば、$(\oplus_{n=1}^\infty Z_n)_{c_0}$ は CSEP を持つ。
• $c_0(\mathbb{R} \oplus \mathbb{C})$ は、一様正確単射列に関する一般原理の結果として CSEP を持つ。
• $\mathbf{K}_0 = (\oplus M_n)_{c_0}$ は、$c_0$-和が単射可分作用素空間からなるならば CSCP を持つという一般原理から、CSCP を持つ。
• $c_0(\ell^\infty)$ は任意の $\varepsilon > 0$ に対して $(2+\varepsilon)$-SEP を持つ。これは、$Z_n$ が1-SEP を持つならば $(\oplus Z_n)_{c_0}$ が $(2+\varepsilon)$-SEP を持つという一般結果から導かれる。
• Veechの議論により、任意の可分な $Y \subset \ell^\infty$ で $c_0 \subsetneqq Y$ を満たすものに対して、$c_0$ は $Y$ において収縮的補空間である。これにより、$c_0$ は2-SEP を持つ。
• 短い完全系列 $0 \to c_0 \to Y \to Z \to 0$ は、$Y$ が可分で $Z = Y/c_0$ であるとき、ノルム1のリフトをもつ。これにより、$c_0$ は $Y$ において収縮的補空間である。