[論文レビュー] The complete unitary dual of non-compact Lie superalgebra su(p,q|m) via the generalised oscillator formalism, and non-compact Young diagrams

Murat Günaydin, Dmytro Volin|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非整数のオシレーター行列式のべき乗を許容する一般化されたオシレーター形式を用いて、非コンパクトなリー超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ のユニタリ最高・最低重量表現の完全分類を提示する。この方法により、連続的ラベルを有する表現を含め、すべてのユニタリ表現が得られ、非コンパクトヤング図を用いた図式的実現が可能になる。特に、物理的に重要な $υ(2,2|4)$ conformal superalgebra とその異常次元を有する超多重項への明示的応用が行われる。

ABSTRACT

We study the unitary representations of the non-compact real forms of the complex Lie superalgebra sl(n|m). Among them, only the real form su(p,q|m) (p+q=n) admits nontrivial unitary representations, and all such representations are of the highest-weight type (or the lowest-weight type). We extend the standard oscillator construction of the unitary representations of non-compact Lie superalgebras over standard Fock spaces to generalised Fock spaces which allows us to define the action of oscillator determinants raised to non-integer powers. We prove that the proposed construction yields all the unitary representations including those with continuous labels. The unitary representations can be diagrammatically represented by non-compact Young diagrams. We apply our general results to the physically important case of four-dimensional conformal superalgebra su(2,2|4) and show how it yields readily its unitary representations including those corresponding to supermultiplets of conformal fields with continuous (anomalous) scaling dimensions.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなリー超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ のユニタリ表現の完全分類を提供すること。
• 標準的なオシレーター構成を、オシレーター行列式の非整数乗を許容する一般化されたフォック空間へと拡張すること。
• 一般化された形式が、連続的ラベルを有するユニタリ表現を含め、すべてのユニタリ表現を捉えられることを示すこと。
• 非コンパクトヤング図を用いた、これらの表現の図式的表現を確立すること。
• $υ(2,2|4)$、4次元 conformal superalgebra という物理的に重要なケースに形式を適用し、異常次元を有するユニタリ超多重項を導出すること。

提案手法

• 著者らは、オシレーター行列式の非整数乗を許容する一般化されたフォック空間 $χ_{\gamma}$ を導入し、標準フォック空間構成を拡張する。
• 彼らは $τ$-変形されたオシレーター代数を用い、ユニタリ性を保証するため、一般化されたフォック空間にヘルミート構造を定義する。
• 標準的な $τ$-双対ペア $τ(\mathsf{K})\timesτ(\mathsf{P})$ の $τ$-変形を用いて、既約表現を構成する。
• 構成は、$τ(\mathsf{K})$ と $τ(\mathsf{P})$ 間のハウ双対性フレームワークに基づき、最高重量状態は非コンパクトヤング図でラベル付けされる。
• 形式はボソン的およびフェルミオン的オシレーターを併用し、最高重量状態はフォック真空とオシレーター生成演算子から構成される。
• この方法は $υ(2,2|4)$ に適用され、$Δ_{f}^{†}$ および $Δ_{b}^{†}$ 行列式の作用により、連続的（異常）次元を有する超多重項が生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトリー超代数 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ のユニタリ双対は、オシレーター手法を用いてどのように完全に分類できるか？
• RQ2 標準的なオシレーター形式は、ユニタリ表現における連続的ラベルを捉えるために、オシレーター行列式の非整数乗を許容する形に拡張可能か？
• RQ3 ユニタリ表現 $υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ の図式的表現は何か？ そして、標準ヤング図にどのように一般化されるか？
• RQ4 一般化されたオシレーター構成は、$υ(2,2|4)$ conformal superalgebra において、どのように異常次元を有する超多重項を生成するか？
• RQ5 この形式を用いて構築された超多重項のスペクトルにおいて、CPT共役と自己共役性の役割は何か？

主な発見

• 非整数乗のオシレーター行列式を含む一般化されたオシレーター形式は、$υ(\mathsf{p},\mathsf{q}|\mathsf{m})$ のすべてのユニタリ表現、連続的ラベルを有するものも含めて、うまく構成可能である。
• ユニタリ表現は完全に分類され、最高重量状態とそのディンキンラベルを符号化する非コンパクトヤング図を用いて実現される。
• $υ(2,2|4)$ に対して、この方法は $ττ_{5}\times S^{5}$ 上のIIB超重力理論におけるCPT自己共役超多重項の完全なスペクトルを再現する。特に、$n \geq 2$ に対して $[0,(n,n,0),0;0,0]$ でラベル付けされる $(1/2,1/2)$-BPS多重項の無限階層が含まれる。
• $[\Delta_{b}^{\dagger}]^{\gamma_{L}}[b_{\dot{\alpha}}^{\dagger}(1)]^{m}|0\rangle$ のような作用により、異常次元を有するチャノニカル超多重項が得られ、対応するラベルは $[m,000,0;(2+\gamma_{L}),0]$ となる。
• この方法により、$ττ_{5}\times S^{5}$ 上のIIB超重力理論の全スペクトルが、CPT自己共役ダブルトン多重項 $[0,(1,1,0),0;0,0]$ の繰り返しテンソル積から得られ、CPT不変状態に制限されることを確認した。
• この形式は、複数のオシレーター色と行列式変形を組み合わせることで、$υ(2,2|4)$ のすべてのユニタリ既約表現、連続的次元を有するものも含めて、統一的な枠組みを提供する。