[論文レビュー] The Completion of the Manifold of Riemannian Metrics with Respect to its $L^2$ Metric

Brian Clarke|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、コンパクトで向き付け可能な多様体上の滑らかなリーマン計量の多様体が、$L^2$ 計量を備えた場合、well-defined な距離空間であることを確立し、その完備化の完全な記述を提供する。弱いリーマン幾何学とコーシー列の$\omega$-収束を用いて、著者は完備化を、退化集合および零集合に関する同値関係を modulo とした可測で有限体積の半計量の空間として同定する。これは無限次元リーマン幾何学における基礎的問題を解決し、タイヒミュラー理論への応用を可能にする。

ABSTRACT

This is the author's Ph.D. thesis, submitted to the University of Leipzig. It deals with the $L^2$ Riemannian metric on the manifold of all smooth Riemannian metrics on a fixed closed, finite-dimensional manifold. The main body of the thesis is a description of the completion manifold of metrics with respect to the $L^2$ metric. The primary motivation for studying this problem comes from Teichmueller theory, where similar considerations lead to a completion of the well-known Weil-Petersson metric. We give an application of the main theorem to the completions of Teichmueller space with respect to a class of metrics that generalize the Weil-Petersson metric. We also prove that the $L^2$ metric induces a metric space structure on the manifold of metrics. As the $L^2$ metric is a weak Riemannian metric, this fact does not follow from general results. In addition, we prove several results on the exponential mapping and distance function of a weak Riemannian metric on a Hilbert/Frechet manifold. The statements are analogous to, but weaker than, what is known in the case of a Riemannian metric on a finite-dimensional manifold or a strong Riemannian metric on a Hilbert manifold.

研究の動機と目的

• コンパクトで向き付け可能な多様体上の滑らかなリーマン計量の多様体が、接空間の完備性に欠けるにもかかわらず、$L^2$ の弱いリーマン計量のもとで距離空間であることを確立すること。
• この距離空間の完備化を、具体的な幾何学的・解析的表現で記述すること。
• 距離関数が正定値でない可能性がある弱いリーマン幾何学における基礎的問題を解決すること。
• 完備化の結果を、特にタイヒミュラー空間におけるウェイリ・ペテルソン計量に関連して、タイヒミュラー理論に応用すること。
• $\omega$-収束の厳密な枠組みを構築し、極限半計量の同定を可能にすること。

提案手法

• 滑らかなリーマン計量の空間における$L^2$ 計量を分析するために、フレシェ多様体理論と弱いリーマン構造の理論を用いる。
• $\omega$-収束を導入・分析し、体積に基づく推定と計量の弱い極限に基づく収束概念を定義する。
• 計量多様体のアメニタブル部分集合を定義し、$L^2$ 計量のもとでその完備化が良好に振る舞うことを証明する。
• 計量成分の点ごとの推定と$L^p$ 推定を用いて、コーシー列の$\omega$-極限から可測半計量を構成する。
• $\omega$-極限が、退化集合および零集合における同値関係を除いて一意的であることを証明し、完備化が正しく定義されることを保証する。
• マッピングクラス群の作用による商としてタイヒミュラー空間を実現することにより、完成化結果をタイヒミュラー空間に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^2$ 計量がリーマン計量の多様体上で真の距離関数を定めるか、すなわち距離関数が正定値であるか。
• RQ2 リーマン計量の多様体が$L^2$ 計量のもとで完備化される際の、正確な構造は何か。
• RQ3 計量が退化する場合を含め、この空間におけるコーシー列の極限点をどのように特徴づけられるか。
• RQ4 完成化を、可測で有限体積の半計量として記述できるか。また、必要な同値関係は何か。
• RQ5 この完成化は、ウェイリ・ペテルソン計量を含むタイヒミュラー理論における既知の構造とどのように関係するか。

主な発見

• 滑らかなリーマン計量の多様体が$L^2$ 計量を備えると、距離関数が正定値であるため、well-defined な距離空間である。
• リーマン計量の多様体が$L^2$ 計量のもとで完備化される際、その完成化は、可測で有限体積の半計量の空間と等長的に同一視される。ただし、退化集合および零集合における同値関係をmodulo とする。
• $\omega$-極限はコーシー列の計量に対して存在し、同値関係を除いて一意的であるため、極限半計量を具体的に構成する方法が得られる。
• 完成化は$\omega$-収束によって達成され、これは体積に基づく推定と$L^2$ におけるテンソル場の弱収束に依存する。
• 有限体積の可測半計量の空間は、誘導された距離に関して完備な距離空間をなし、これは元の多様体の自然な完成化である。
• この結果により、マッピングクラス群による商として完成化された計量多様体を実現することにより、ウェイリ・ペテルソン計量に関してタイヒミュラー空間の厳密な完成化が可能になる。