[論文レビュー] The complex-symplectic geometry of SL(2,C)-characters over surfaces

William M. Goldman|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、閉じた曲面のSL(2,C)-特徴的多様体の複素シンプレクティック幾何を確立し、マッピングクラス群Γがシンプレクティックに作用すること、およびエルゴディシティによりすべてのΓ-不変なメラモーフィック関数が定数であることを見いだす。単純閉曲線のトレース関数を用いて複素ハミルトニアン・フローを導入し、フェンケル＝ニーデンとクエイクベンド・フローを一般化する。また、パンツ分解に対応するトレース写像が、ΓP-不変関数がそれらを通じて因数分解される正則な完全可積分系を与えることを証明する。

ABSTRACT

The SL(2)-character variety X of a closed surface M enjoys a natural complex-symplectic structure invariant under the mapping class group G of M. Using the ergodicity of G on the SU(2)-character variety, we deduce that every G-invariant meromorphic function on X is constant. The trace functions of closed curves on M determine regular functions which generate complex Hamiltonian flows. For simple closed curves, these complex Hamiltonian flows arise from holomorphic flows on the representation variety generalizing the Fenchel-Nielsen twist flows on Teichmueller space and the complex quakebend flows on quasi-Fuchsian space. Closed curves in the complex trajectories of these flows lift to paths in the deformation space of complex-projective structures between different projective structures with the same holonomy (grafting). A pants decomposition determines a holomorphic completely integrable system on X. This integrable system is related to the complex Fenchel-Nielsen coordinates on quasi-Fuchsian space developed by Tan and Kourouniotis, and relate to recent formulas of Platis and Series on complex-length functions and complex twist flows.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面のSL(2,C)-特徴的多様体の複素シンプレクティック構造と、マッピングクラス群Γによる不変性を調査すること。
• 閉曲線のトレース関数が正則関数として複素ハミルトニアン・フローを生成する役割を理解すること。
• フェンケル＝ニーデンのねじれと複素地震（準フックス変形）といった既知の幾何的変形とそれらの関係を明らかにすること。
• パンツ分解に対応するトレース写像τPが特徴的多様体上に正則な完全可積分系を定義することを確立すること。
• ΓP-不変な正則関数がトレース写像τPを通じて因数分解されることを示し、複素Fenchel-Nielsen座標に関する結果を拡張すること。

提案手法

• リー代数上のトレース形式から導かれるSL(2,C)-特徴的多様体X上の複素シンプレクティック構造を用いて、ハミルトニアンベクトル場を定義する。
• α ∈ π1(M)に対してfα(ρ) = tr(ρ(α))と定義するトレース関数を導入し、X上で複素ハミルトニアン・フローを生成する。
• 単純閉曲線αに対して、複素ハミルトニアン・フローが表現空間Hom(π, SL(2,C))上に正則なねじれフローに引き上げられることを示す。
• パンツ分解𝒫に対し、トレース写像τP: X → ℂ^𝒫が、モーメント写像構造を持つ正則な完全可積分系であることを証明する。
• SU(2)-特徴的多様体上でのマッピングクラス群作用のエルゴディシティを応用し、X上でのすべてのΓ-不変なメラモーフィック関数が定数であることを導く。
• 複素長関数lℂを用いて、X上の複素ハミルトニアン・フローと準フックス空間QF(M)上の複素ねじれフローおよびクエイクベンドを関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉曲面MのSL(2,C)-特徴的多様体X上に、非定数のΓ-不変なメラモーフィック関数は存在するか？
• RQ2 単純閉曲線のトレース関数がX上でどのように複素ハミルトニアン・フローを生成するか、そしてそれらのフローが幾何的変形とどのように関係するか？
• RQ3 パンツ分解𝒫に対応するトレース写像τPが、X上で正則な完全可積分系を定義できるか？
• RQ4 ΓP-不変な正則関数が、ΓPが𝒫の安定化部分群であるとき、τPを通じて因数分解されるか？
• RQ5 X上の複素ハミルトニアン・フローは、準フックス空間QF(M)上の複素Fenchel-Nielsen座標およびクエイクベンド・フローとどのように関係するか？

主な発見

• SU(2)-特徴的多様体上でのΓ作用のエルゴディシティにより、SL(2,C)-特徴的多様体X上のすべてのΓ-不変なメラモーフィック関数は定数である。
• 単純閉曲線αのトレース関数fαは、複素ハミルトニアン・フローを生成し、それらはFenchel-Nielsenおよび複素地震フローを一般化する正則ねじれフローに表現空間上で引き上げられる。
• パンツ分解𝒫に対応するトレース写像τP: X → ℂ^𝒫は、ℂ^N値モーメント写像を持つ正則な完全可積分系である。
• X上のすべてのΓP-不変な正則関数はτPを通じて因数分解され、τPがそれらの不変量をすべて捉えていることが示された。
• X上の複素ハミルトニアン・フローは、幾何的にはℂP¹-構造上での複素地震とグラフティングに対応し、複素軌道上に存在する閉曲線は、同じモノドロミーを持つ異なるℂP¹-構造間のグラフティングを表す。
• QF(M)上の複素長関数lℂは、複素ねじれフローに関してハミルトニアンであり、Platisの結果を確認するとともに、古典的Fenchel-Nielsen理論を複素領域に拡張する。