[論文レビュー] The complexity of approximating complex-valued Ising and Tutte partition functions

Leslie Ann Goldberg, Heng Guo|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、量子計算に依存せずに、組合せ的手法を用いて、複素数パラメータを伴うイジングおよびトゥッテの分配関数の近似に関する完全な複雑性分類を提供する。大多数のパrameter値に対して#P-難易度を確立し、特にパラメータが単位根である場合の正確な多項式時間で解けるケースを同定し、近似カウンティングおよび複雑性理論分野における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We study the complexity of approximately evaluating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Our results are partly motivated by the study of the quantum complexity classes BQP and IQP. Recent results show how to encode quantum computations as evaluations of classical partition functions. These results rely on interesting and deep results about quantum computation in order to obtain hardness results about the difficulty of (classically) evaluating the partition functions for certain fixed parameters. The motivation for this paper is to study more comprehensively the complexity of (classically) approximating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Partition functions are combinatorial in nature and quantifying their approximation complexity does not require a detailed understanding of quantum computation. Using combinatorial arguments, we give the first full classification of the complexity of multiplicatively approximating the norm and additively approximating the argument of the Ising partition function for complex edge interactions (as well as of approximating the partition function according to a natural complex metric). We also study the norm approximation problem in the presence of external fields, for which we give a complete dichotomy when the parameters are roots of unity. Previous results were known just for a few such points, and we strengthen these results from BQP-hardness to #P-hardness. Moreover, we show that computing the sign of the Tutte polynomial is #P-hard at certain points related to the simulation of BQP. Using our classifications, we then revisit the connections to quantum computation, drawing conclusions that are a little different from (and incomparable to) ones in the quantum literature, but along similar lines.

研究の動機と目的

• 複素数パラメータを伴うイジングおよびトゥッテの分配関数の近似の複雑性を、量子計算に依存せずに包括的に分類すること。
• 複素数エッジ相互作用におけるイジング分配関数のノルムと位相の近似という未解決問題を解消すること。
• 特定のパラメータ値、特にパラメータが単位根である場合に、先行するBQP-難易度結果を#P-難易度に拡張すること。
• パラメータが単位根である場合に、外部場を伴うノルム近似における完全な二分法を確立すること。
• BQPやIQPなどの量子複雑性クラスとの関係を、完全に組合せ的議論を用いて再表現し、より鋭い複雑性境界を導出すること。

提案手法

• 複素数値イジング分配関数の挙動を分析するための組合せ的フレームワークを構築し、エッジ相互作用と外部場に焦点を当てる。
• 有効相互作用強度が$(-1, 0)$または$(-∞, -1)$に属するかどうかを特定するための変換関数$ w( heta, heta) $を導入し、還元技術を可能にする。
• 単位根に関する数論的議論を用いて、特定のパラメータ組合せが、特定の代数的条件が満たされない限り矛盾を引き起こすことを示す。
• グラフ構築による外部場とエッジ相互作用のシミュレーションを用いた還元技術を適用し、パラメータ集合間での難易度の移譲を可能にする。
• 外部場（例：$ z $ をべき乗 $ r $ に上げる）を操作するためのパワー・アップおよびキャンセレーション技術を用いる。
• 先行研究の結果（例：補題17、補題20）と新しい補題を組み合わせ、既に tractable であると知られている範囲を除く、すべてのパラメータ領域における難易度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素数パラメータに対して、イジング分配関数のノルムの近似が#P-難易度となるか？
• RQ2 複素数エッジ相互作用におけるイジング分配関数の位相の近似の複雑性は何か？
• RQ3 外部場を伴うノルム近似において、イジングおよびトゥッテの分配関数がいつ tractable となるか、特にパラメータが単位根である場合にどうか？
• RQ4 特定のイジングパラメータに対して得られたBQP-難易度結果を、組合せ的手法を用いて#P-難易度に強化できるか？
• RQ5 イジングおよびトゥッテの分配関数の近似の複雑性は、BQP や IQP などの量子複雑性クラスとどのように関係するか？

主な発見

• すべての複素数エッジ相互作用$ y $ および外部場$ z $ に対して、イジング分配関数のノルムの近似は#P-難易度であるが、$ y = ±1 $ または $ y = ± i $ かつ $ z ∈ \{1, -1, i, -i\} $ の場合を除く。
• $ y = ± i $ かつ $ z $ が$ \{1, -1, i, -i\} $ に属さない単位根である場合、ノルム近似問題は#P-難易度である。これは、先行のBQP-難易度をより強い複雑性クラスの難易度に拡張するものである。
• 外部場$ z $ が単位根である場合、完全な二分法が確立される：$ z ∈ \{1, -1, i, -i\} $ かつ $ y = ± i $ の場合に限り、ノルム近似は tractable である。それ以外は#P-難易度である。
• 本稿では、BQPシミュレーションに関連する特定の点において、トゥッテ多項式の符号を計算することは#P-難易度であることを証明し、先行の量子ベースの難易度結果を強化する。
• パラメータが$ y = ± i $ で、$ z $ が非自明な単位根である場合のイジングモデルは、ノルムの近似において#P-難易度である。これは、かつてはBQP-難易度にのみ知られていたパラメータであった。
• 著者らは、$ y = ± i $ かつ $ z $ が$ \{1, -1, i, -i\} $ に属さない場合、有効相互作用$ w( heta, heta) $ を実数かつ$ (-∞, -1) $ にできると示し、パワー・アップ技術を用いて既知の難易度ケースに還元可能であることを示す。