[論文レビュー] The Complexity of Approximating the Complex-Valued Potts Model

Andreas Galanis, Leslie Ann Goldberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、複素数パラメータを用いた q状態 Potts モデルおよび Tutte 多項式の分配関数の近似について、完全な複雑性分類を提供し、q ≥ 2 のときすべての非実数パラメータ値に対して #P-困難であることを確立している。これは、近似計算と量子計算分野における長年の未解決問題を解決し、計算の困難さが実軸から離れたパラメータ値に現れることが明らかになった。この結果は、従来の Ising モデル（q=2）に限られていた結果を、すべての q ≥ 2 にまで拡張し、平面グラフ上での適用を可能にした。

ABSTRACT

We study the complexity of approximating the partition function of the q-state Potts model and the closely related Tutte polynomial for complex values of the underlying parameters. Apart from the classical connections with quantum computing and phase transitions in statistical physics, recent work in approximate counting has shown that the behaviour in the complex plane, and more precisely the location of zeros, is strongly connected with the complexity of the approximation problem, even for positive real-valued parameters. Previous work in the complex plane by Goldberg and Guo focused on q = 2, which corresponds to the case of the Ising model; for q > 2, the behaviour in the complex plane is not as well understood and most work applies only to the real-valued Tutte plane. Our main result is a complete classification of the complexity of the approximation problems for all non-real values of the parameters, by establishing #P-hardness results that apply even when restricted to planar graphs. Our techniques apply to all q ≥ 2 and further complement/refine previous results both for the Ising model and the Tutte plane, answering in particular a question raised by Bordewich, Freedman, Lovász and Welsh in the context of quantum computations.

研究の動機と目的

• すべての非実数の辺相互作用パラメータ y およびすべての q ≥ 2 に対して、q状態 Potts モデルの分配関数の近似の計算複雑性を分類すること。
• 従来、q=2（Ising モデル）または実数パラメータに限られていたハードネス結果を、一般の q ≥ 2 に対して複素平面全体にまで拡張すること。
• 交差リンクのジョーンズ多項式の近似の複雑性に関する、量子計算分野における長年の未解決問題を解決すること。
• Potts モデルおよび Tutte モデルにおける複素数近似問題の、 tractable と #P-困難なケースの完全な二分法を確立すること。

提案手法

• 著者らは、分配関数のノルムおよび偏角を乗法的または加法的誤差内で近似するというタスクを形式化する2つの計算問題、Factor-K-NormPotts および Distance-ρ-ArgPotts を定義した。
• 代数的技法と複素解析を用いて、複素平面における分配関数の零点および特異点の位置を分析し、それらを計算の困難さと関連づけた。
• 証明は、ギャジェットと代数的変形を用いた既知の #P-困難問題への還元に依存しており、特に Tutte 多項式とジョーンズ多項式との関係を活用した。
• 多項式時間近似スキーム（PTAS）およびゼロ自由領域の理論を適用し、複素平面内に零点が存在する場合が計算的に困難であることを示した。
• 主な技術的革新は、代数的点をグラフ構築によって「実装」する手法を複素数領域に拡張したことであり、これにより非実数パラメータに対するハードネス証明が可能になった。
• Thistlethwaite の定理を用いて、平面グラフ上の Tutte 多項式の結果を交差リンクのジョーンズ多項式に翻訳し、量子計算への応用を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q ≥ 2 のとき、パラメータ y のどの複素数値に対して、q状態 Potts モデルの分配関数の近似が計算的に困難になるか？
• RQ2 パラメータ y が非実数であるとき、Potts モデルの分配関数の近似の計算的困難さは、Ising モデル（q=2）を越えて、すべての q ≥ 2 にまで拡張可能か？
• RQ3 複素数パラメータを用いた平面グラフ上の Tutte 多項式のノルムおよび偏角の近似において、 tractable と #P-困難なケースの正確な境界は何か？
• RQ4 交差リンクのジョーンズ多項式の近似の複雑性は、特に量子計算に関連する点において完全に分類可能か？
• RQ5 複素数パラメータに対して、Tutte 多項式の実部の符号を計算することは #P-困難か？ そしてこれは量子計算の複雑性とどのように関係するか？

主な発見

• すべての q ≥ 2 およびすべての非実数 y に対して、Potts 分配関数 ZPotts(G; q, y) のノルムの近似は #P-困難である。これは、平面グラフに制限しても成り立つ。
• すべての非実数 y およびすべての q ≥ 2 に対して、平面グラフ上での Potts 分配関数の偏角の近似は、加法的誤差 ρ = π/3 以内でも #P-困難である。
• すべての非実数 t で Re(t) > 0 である交差リンクのジョーンズ多項式は、ノルムおよび偏角の両方において #P-困難に近似可能であるが、3つの特別な点 t ∈ {1, −e^{2πi/3}, −e^{4πi/3}} を除く。
• 平面グラフ上の Tutte 多項式に関しては、q = (x−1)(y−1) ≥ 2 を満たすすべての非実数 (x, y) のペアに対して #P-困難であるが、正確に評価可能な孤立した特別な点を除く。
• Bordewich, Freedman, Lovász, Welsh が提起した、Tutte 多項式の実部の符号を計算する複雑性に関する問題を解決し、t = e^{2πi/5} に対応するパラメータでは #P-困難であることを示した。これは量子計算における重要な点である。
• q = 32/27 における相転移は、Tutte 多項式の符号計算に影響を及ぼすことが知られているが、本稿では、これが複素数パラメータ領域における計算の困難さの閾値としても同様に成立することを示した。