[論文レビュー] The complexity of balanced presentations and the Andrews-Curtis conjecture

Martin R. Bridson|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、群の押し出しにおけるデーン関数の挙動を用いて、4以上のランクにおける自明群のバランス型提示を自明化するために必要なアンダーソン＝カーティス移動の数の明示的で計算可能な下界を確立する。移動の数は、いかなる有限の累乗塔よりも速く増加し、宇宙に存在する電子の数をも超える。これは、理論的には可能ではあるが、物理的に実現不可能であることを示している。

ABSTRACT

Motivated by problems in topology, we explore the complexity of balanced group presentations. We obtain large lower bounds on the complexity of Andrews-Curtis trivialisations, beginning in rank 4. Our results are based on a new understanding of how Dehn functions of groups behave under certain kinds of push-outs. We consider groups $S$ with presentations of deficiency 1 satisfying certain technical conditions and construct balanced group presentations $¶_w$ indexed by words $w$ in the generators of $S$. If $w=1$ in $S$ then $¶_w$ is Andrews-Curtis trivialisable and the number of Andrews-Curtis moves required to trivialise it can be bounded above and below in terms of how hard it is to prove that $w=1$ in $S$.

研究の動機と目的

• 自明群のバランス型提示におけるアンダーソン＝カーティス自明化の計算複雑性を調査すること。
• このような提示を自明化するために必要なアンダーソン＝カーティス移動の数の明示的で計算可能な下界を確立すること。
• アンダーソン＝カーティス移動の複雑性と、1の欠損度を持つ群における語の単位性の証明の難易度を結びつけること。
• 理論的に可能ではあるが、物理的に実現不可能であることを示すこと、特に小さな提示に対しても同様であることを示すこと。

提案手法

• 欠損度1で技術的条件を満たす群 $S$ 内の語 $w$ によってインデックス化されたバランス型提示 $\mathcal{P}_w$ を構成すること。
• 群の拡張におけるデーン関数の挙動を解析するための押し出し構成を用い、アンダーソン＝カーティス複雑性と結びつけること。
• $\hbox{AC}_*(\mathcal{P})$ を $\mathcal{P}$ を自明化するための最小の二面体的アンダーソン＝カーティス移動数として定義し、$S$ における $w=1$ の証明の難易度によってその下界を定めること。
• 関数 $\Delta(m)$ を $\Delta(0)=2$, $\Delta(m+1)=2^{\Delta(m)}$ で定義し、移動回数の下界を表現すること。
• アンダーソン＝カーティスグラフ $\hbox{AC}_k$ 及びその部分レベル集合 $\Lambda(n)$ を分析し、連結性と経路の複雑性を研究すること。
• 幾何的群論の技術、特にデーン関数と群論的複雑性を用いて、安定化に依存しない下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク ≥4 の自明群のバランス型提示を自明化するために、最小でどのくらいのアンダーソン＝カーティス移動が必要か？
• RQ2 群 $S$ において語 $w$ が単位元に等しいことを証明する複雑さは、関連する提示 $\mathcal{P}_w$ を自明化する複雑さとどのように関係するか？
• RQ3 たとえ小さな提示に対しても、必要なアンダーソン＝カーティス移動の数が、いかなる有限の累乗塔よりも速く増加する可能性はあるか？
• RQ4 これらの下界は、明示的な自明化列の物理的非現実性をどの程度示しているか？

主な発見

• $k \geq 4$ に対して、関係子長の合計が $24(n+1)$ 以下であるが、自明化に少なくとも $\Delta(\lfloor \log_2 n \rfloor)$ 個のアンダーソン＝カーティス移動が必要となる、明示的な $k$-生成子バランス型提示 $\mathcal{P}_n$ が存在する。
• 下界 $\Delta(\lfloor \log_2 n \rfloor)$ は、いかなる有限の累乗塔よりも速く増加し、中程度の $n$ に対しては、観測可能な宇宙に存在する電子の数をも超える。
• この構成により、たとえ合計関係子長 ≤ 240 であっても、自明化に $10^{10000}$ を超える移動が必要となるような小さな提示が存在し、明示的な自明化は物理的に不可能であることが示された。
• 必要な移動の数は、基盤群 $S$ のデーン関数と密接に関係しており、$S$ における語の証明が難しいほど、$\mathcal{P}_w$ における移動の複雑性も高くなる。
• 安定化を許容するかしないかにかかわらず、これらの結果は成り立つため、下界は標準的および安定的アンダーソン＝カーティス予想の両方に適用可能である。
• 明示的な例として、4生成子のバランス型提示で、合計長 ≤ 240 でありながら、自明化に $10^{10000}$ を超える AC-移動が必要となるものが与えられている。