[論文レビュー] The Complexity of Clickomania

Thérèse Biedl, Erik D. Demaine+4 more|ArXiv.org|Jul 21, 2001

Artificial Intelligence in Games参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グリッド上の同じ色のブロックの連結したグループを削除するというゲームメカニズムを持つ人気パズルゲーム「クリックオマニア」の計算複雑性を調査する。2色の場合、1列パズルは線形時間で解けるが、3色以上では多項式時間で解ける。一方、2列で5色、または5列で3色のパズルでは、すべてのブロックを削除できるかどうかを決定する問題はNP完全であることが示され、ゲームのアルゴリズム的構造における根本的な難解性が特定された。

ABSTRACT

We study a popular puzzle game known variously as Clickomania and Same Game. Basically, a rectangular grid of blocks is initially colored with some number of colors, and the player repeatedly removes a chosen connected monochromatic group of at least two square blocks, and any blocks above it fall down. We show that one-column puzzles can be solved, i.e., the maximum possible number of blocks can be removed, in linear time for two colors, and in polynomial time for an arbitrary number of colors. On the other hand, deciding whether a puzzle is solvable (all blocks can be removed) is NP-complete for two columns and five colors, or five columns and three colors.

研究の動機と目的

• さまざまなグリッド構造と色の制約下でのクリックオマニアパズルの計算複雑性を特定すること。
• すべてのブロックを削除できるかどうかという意思決定問題が、多項式時間で解けるか、NP完全であるかを分析すること。
• 特に、列数と色数が少ない場合に、 tractable と intractable なインスタンスの境界を明らかにすること。
• 特に2色インスタンスを対象とした、1列クリックオマニアの多項式時間アルゴリズムを確立すること。
• スコアベースのバージョンを含む、最適化問題と意思決定問題の複雑性を調査すること。

提案手法

• 1列クリックオマニア問題を文脈自由文法の構文解析問題に還元し、動的計画法を用いて多項式時間で解けるようにする。
• 最適化問題（削除可能なブロック数を最大化）を複数の意思決定問題に還元する動的計画法を用いる。
• 論理的節をシミュレートするために、ロック、キー、障害物を備えた複雑なブロック配置を用いて、3-SATから還元する。
• 爆弾と色付きブロックを用いた障害物機構を導入し、変数の割り当てと節の満たしの間に論理的依存関係を強制する。
• 変数固有のキーと節固有のロックを持つパズルレイアウトを設計し、そのパズルが解けることと、3-SAT式の充足可能性が正確に対応するようにする。
• 2色で5列のクリックオマニアパズルがNP完全であることを証明するため、3-SATインスタンスを同値な解法可能性を持つクリックオマニア盤に符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2色の1列パズルにおいて、すべてのブロックを削除できるかどうかという意思決定問題は、多項式時間で解けるか？
• RQ2 列数が2に固定された場合、色数が増加するにつれてクリックオマニアの複雑性はどうなるか？
• RQ3 2列で5色、または5列で3色といった、小さな固定数の列と色に対して、クリックオマニアのNP完全性を確立できるか？
• RQ4 任意の色数を持つ1列クリックオマニアには、多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 サイズnのグループを削除すると(n−2)²点が得られるスコアベースの変種クリックオマニアの複雑性は何か？

主な発見

• 2色の1列クリックオマニアは線形時間で解けるため、問題の tractable なケースが特定された。
• 任意の色数を持つ1列クリックオマニアは、文脈自由文法の構文解析技術を用いて多項式時間で解ける。
• 2列で5色のクリックオマニアの意思決定版はNP完全であることが示され、わずかな列数でも難解性が示された。
• 5列で3色のクリックオマニアの意思決定版もNP完全であることが示され、 tractable な境界がさらに狭まった。
• NP完全性の結果は、ロック、キー、障害物を備えた注意深く設計されたブロックレイアウトを用いて、3-SATからの還元により証明された。
• 2色で2列のクリックオマニアの複雑性は、未解決のまま残っている。