[論文レビュー] The complexity of counting solutions to Generalised Satisfiability Problems modulo k

John Faben|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、整数 $k$ を法とする一般化充足可能性問題の解の個数を数える問題の複雑性について、二分岐定理を確立する。この問題は、すべての制約がアフィンであるか、$k=2$ の場合に制約集合が C-閉じている限り、多項式時間で解ける。それ以外の場合は $\#_k\text{P}$-完全である。この結果は、Creignou と Hermann の $\#\text{P}$ 二分岐定理をモジュラ計数に拡張したものであり、唯一の例外は $k=2$ で非アフィンかつ非 C-閉じた集合の場合である。

ABSTRACT

Generalised Satisfiability Problems (or Boolean Constraint Satisfaction Problems), introduced by Schaefer in 1978, are a general class of problem which allow the systematic study of the complexity of satisfiability problems with different types of constraints. In 1979, Valiant introduced the complexity class parity P, the problem of counting the number of solutions to NP problems modulo two. Others have since considered the question of counting modulo other integers. We give a dichotomy theorem for the complexity of counting the number of solutions to Generalised Satisfiability Problems modulo integers. This follows from an earlier result of Creignou and Hermann which gave a counting dichotomy for these types of problem, and the dichotomy itself is almost identical. Specifically, counting the number of solutions to a Generalised Satisfiability Problem can be done in polynomial time if all the relations are affine. Otherwise, except for one special case with k = 2, it is #_kP-complete.

研究の動機と目的

• 整数 $k$ を法とする一般化充足可能性問題の解の個数を数える問題の計算複雑性を特定すること。
• Creignou と Hermann の $\#\text{P}$ 二分岐定理をモジュラ計数の文脈に拡張すること。
• $k$ を法とする計数が tractable または hard となる正確な条件を同定すること。
• モジュラ計数において $\#_k\text{P}$-完全性の閾値が、古典的な $\#\text{P}$-完全性と異なるかどうかを解明すること。

提案手法

• 非決定的チューリングマシンの受理パスの個数を $k$ を法として計算する関数問題のクラス $\#_k\text{P}$ を定義する。これは $\#\text{P}$ に類似している。
• 解の個数を $k$ を法として保存する、$k$ を法とするパーソニャスな還元を用い、$\#_k\text{P}$-完全問題間の還元を可能にする。
• 基本関数（例：OR、XOR、F、T）の「忠実な実装」の概念を用い、制約集合を用いて硬さを伝搬する。
• 既知の $\#_k\text{P}$-完全問題からの還元を用いて硬さを証明し、C-閉じ、アフィン閉じなどの閉包性質を利用する。
• 制約集合が OR や XOR 関数を実装できる場合、すべての $k$ に対して $\#_k\text{SAT}(\mathcal{F})$ は $\#_k\text{P}$-硬いことを証明する。
• 帰納法とリフト補題（例：補題 4.8 および 4.10）を用い、$\#_{2^{k-1}}\text{P}$ から $\#_{2^k}\text{P}$ への硬さの拡張、および奇数の素数から合成数の法へへの拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化充足可能性問題の解の個数を $k$ を法として数える問題が、どのような条件下で tractable になるか。
• RQ2 任意の $k$ に対して、モジュラ計数における $\#_k\text{P}$-完全性の閾値が、古典的な $\#\text{P}$-完全性と異なるか。
• RQ3 $k$ を法とする計数が、$k=2$ の場合に硬いにもかかわらず、非自明なケースで容易になることがあるか。
• RQ4 $\#_k\text{P}$-硬さが、$2^{k-1}$ から $2^k$ のように、より大きな法へとリフト可能か。
• RQ5 C-閉じやアフィン閉じなどの閉包性質が、モジュラ計数の複雑性にどのように影響するか。

主な発見

• 制約集合 $\mathcal{F}$ のすべての制約がアフィンであれば、$k$ にかかわらず、$k$ を法とする解の個数の計数は多項式時間で可能である。
• $k=2$ の場合、$\mathcal{F}$ が C-閉じていれば、アフィンでなくても $k=2$ を法とする計数は tractable である。
• $k=2$ で $\mathcal{F}$ がアフィンでない場合、$\#_2\text{SAT}(\mathcal{F})$ は $\#_2\text{P}$-完全である。
• $k \geq 3$ の場合、$\mathcal{F}$ がアフィンでない限り、$\#_k\text{SAT}(\mathcal{F})$ は $\#_k\text{P}$-完全である。ただし $k=2$ で $\mathcal{F}$ が C-閉じている場合は除く。
• 二分岐の唯一の例外は、$k=2$ で $\mathcal{F}$ が C-閉じていないが、依然として $\#_2\text{P}$-完全でない場合であるが、証明構造によってこのケースは除外される。
• 硬さはモジュラリフトに於いて保存される：$\#_{2^{k-1}}\text{SAT}(\mathcal{F} \cup \{\text{F}, \text{T}\})$ が $\#_{2^{k-1}}\text{P}$-硬ければ、$\#_{2^k}\text{SAT}(\mathcal{F})$ は $\#_{2^k}\text{P}$-硬い。