[論文レビュー] The Complexity of $(\Delta + 1)$Coloring inCongested Clique, Massively Parallel Computation,and Centralized Local Computation

Yi‐Jun Chang, Manuela Fischer+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、コンgestドクラウドおよびマスively parallel computation (MPC) モデルにおいて、(∆+1)-リスト彩色の最適な O(1)-ラウンド複雑度を達成する確率的アルゴリズムを提示する。また、集中型ローカル計算 (LCC) モデルでは、∆O(1)·O(log n) のクエリ複雑度を達成する。主な革新点は、高次元の頂点への依存を低減する新しいスパarsified彩色フレームワークにあり、これにより MPC におけるサブローグラスティックラウンド複雑度と、polylogarithmic degree の仮定下でのコンゲストドクラウドにおける定数ラウンド実行が可能になる。

ABSTRACT

We present new randomized algorithms that improve the complexity of the classic $(\Delta+1)$-coloring problem, and its generalization $(\Delta+1)$-list-coloring, in three well-studied models of distributed, parallel, and centralized computation: Distributed Congested Clique: We present an $O(1)$-round randomized algorithm for $(\Delta+1)$-list coloring in the congested clique model of distributed computing. This settles the asymptotic complexity of this problem. It moreover improves upon the $O(\log^\ast \Delta)$-round randomized algorithms of Parter and Su [DISC'18] and $O((\log\log \Delta)\cdot \log^\ast \Delta)$-round randomized algorithm of Parter [ICALP'18]. Massively Parallel Computation: We present a $(\Delta+1)$-list coloring algorithm with round complexity $O(\sqrt{\log\log n})$ in the Massively Parallel Computation (MPC) model with strongly sublinear memory per machine. This algorithm uses a memory of $O(n^{\alpha})$ per machine, for any desirable constant $\alpha>0$, and a total memory of $\widetilde{O}(m)$, where $m$ is the size of the graph. Notably, this is the first coloring algorithm with sublogarithmic round complexity, in the sublinear memory regime of MPC. For the quasilinear memory regime of MPC, an $O(1)$-round algorithm was given very recently by Assadi et al. [SODA'19]. Centralized Local Computation: We show that $(\Delta+1)$-list coloring can be solved with $\Delta^{O(1)} \cdot O(\log n)$ query complexity, in the centralized local computation model. The previous state-of-the-art for $(\Delta+1)$-list coloring in the centralized local computation model are based on simulation of known LOCAL algorithms.

研究の動機と目的

• コンゲストドクラウドモデルにおける (∆+1)-リスト彩色の漸近的複雑度のギャップを埋めるために、O(1)-ラウンドの確率的アルゴリズムを達成すること。
• 強力に部分線形メモリ領域における MPC モデルで、(∆+1)-リスト彩色の最初のサブローグラスティックラウンドアルゴリズムを設計すること。
• 集中型ローカル計算 (LCC) モデルにおける (∆+1)-リスト彩色のクエリ複雑度を、従来の LOCAL アルゴリズムのシミュレーションを上回るレベルに改善すること。
• 新しいスパarsified彩色フレームワークを用いて、分散、並列、ローカル計算モデル間のアルゴリズム的技術を統合すること。
• ∆=O(poly log n) の条件下で、コンゲストドクラウドにおける定数ラウンド彩色が可能であることを示し、重要な未解決問題を解決すること。

提案手法

• 各頂点ごとに「顕著な」近傍を特定するスパarsified彩色手順を導入し、通信をこれらに限定することでメッセージサイズと依存性を低減する。
• 各頂点 v に対して、|N*(v)| = O(poly log ∆) となる縮小近傍集合 N*(v) を事前処理で計算し、効率的なローカル計算を可能にする。
• 度数が多項式対数的である場合に、コンゲストドクラウドで O(log*∆)-ラウンドの LOCAL アルゴリズムを O(1) ラウンドでシミュレートするためのスピードアップ補題 (補題 2.3) を適用する。
• グラフシャッターフレームワークを活用：頂点を彩色済み、悪影響のある、および残りの成分に分割し、それぞれを決定的またはローカルアルゴリズムで彩色する。
• メッセージサイズが有界なメッセージ伝達を介して、MPC およびコンゲストドクラウドにおける LOCAL アルゴリズムのブラックボックスシミュレーションを活用する。
• R（低次元頂点）、VBad（悪影響のある頂点）、および未彩色の成分によって生成される部分グラフの結果を統合し、複雑度が有界な完全彩色を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンゲストドクラウドモデルにおいて、(∆+1)-リスト彩色が O(1) ラウンドで解けるか。その場合、どのような度数仮定が必要か？
• RQ2 強力に部分線形メモリ領域における MPC モデルで、(∆+1)-リスト彩色のサブローグラスティックラウンド複雑度を達成することは可能か？
• RQ3 集中型ローカル計算モデルにおける (∆+1)-リスト彩色の最適クエリ複雑度は何か。また、従来の LOCAL アルゴリズムのシミュレーションを上回る改善は可能か？
• RQ4 スパarsified彩色フレームワークは、複数の計算モデル間で通信量と複雑度を低減するためにどのように利用可能か？
• RQ5 ∆=O(poly log n) の場合に、スピードアップ補題を用いて O(log*∆)-ラウンドの LOCAL アルゴリズムをコンゲストドクラウドで O(1) ラウンドでシミュレートすることは可能か？

主な発見

• コンゲストドクラウドモデルにおいて、(∆+1)-リスト彩色の O(1)-ラウンド確率的アルゴリズムが達成され、問題の漸近的複雑度が解決された。
• 強力に部分線形メモリ領域における MPC モデルで、(∆+1)-リスト彩色の最初のサブローグラスティックラウンドアルゴリズムが提示され、√log log n ラウンドの複雑度を達成した。
• 集中型ローカル計算モデルにおいて、(∆+1)-リスト彩色が ∆O(1)·O(log n) のクエリ複雑度で解決され、従来のシミュレーションベースの境界を改善した。
• ∆=O(poly log n) の場合、スピードアップ補題とメッセージサイズ制約を活用することで、コンゲストドクラウドモデルで O(1)-ラウンド複雑度を達成した。
• スパarsified彩色後に残る未彩色の頂点は、O(n) 様式の辺を持つ部分グラフを形成し、ブラックボックスシミュレーションにより O(1) ラウンドで効率的に彩色可能である。
• スパarsified彩色フレームワークは、顕著な近傍にのみ注目することで、高次元頂点への依存を低減し、複数のモデルにおけるスケーラブルかつ効率的な計算を可能にする。