[論文レビュー] The complexity of dominating set reconfiguration

Arash Haddadan, Takehiro Ito+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、基数制約のもとでグラフ内の支配集合を再構成する問題の計算複雑性を調査し、平面的で、帯域幅が有界で、スプリットで、二部グラフに対しても、問題がPSPACE完全であることを証明している。また、コグラフ、木、区間グラフに適用可能な一般化された線形時間アルゴリズムフレームワークを導入し、再構成列がO(n)ステップで構築可能であることを示しており、この問題における tractable と intractable なグラフクラスの鋭い境界を確立している。

ABSTRACT

Suppose that we are given two dominating sets $D_s$ and $D_t$ of a graph $G$ whose cardinalities are at most a given threshold $k$. Then, we are asked whether there exists a sequence of dominating sets of $G$ between $D_s$ and $D_t$ such that each dominating set in the sequence is of cardinality at most $k$ and can be obtained from the previous one by either adding or deleting exactly one vertex. This problem is known to be PSPACE-complete in general. In this paper, we study the complexity of this decision problem from the viewpoint of graph classes. We first prove that the problem remains PSPACE-complete even for planar graphs, bounded bandwidth graphs, split graphs, and bipartite graphs. We then give a general scheme to construct linear-time algorithms and show that the problem can be solved in linear time for cographs, trees, and interval graphs. Furthermore, for these tractable cases, we can obtain a desired sequence such that the number of additions and deletions is bounded by $O(n)$, where $n$ is the number of vertices in the input graph.

研究の動機と目的

• さまざまなグラフクラスにわたる、基数制限kの下での支配集合再構成の計算複雑性を特定すること。
• PSPACE完全なインスタンスと多項式時間で解けるインスタンスを区別する構造的性質を同定すること。
• tractable なグラフクラスにおける再構成列を効率的に計算するための一般化されたアルゴリズムフレームワークを構築すること。
• コグラフ、木、区間グラフのような tractable ケースにおける再構成列長のタイトな境界を確立すること。

提案手法

• 再構成可能性を保つNP困難な支配集合インスタンスへの還元を用いて、PSPACE完全性を証明した。
• コグラフ、木、区間グラフにおける標準支配集合の特定に基づく一般化されたアルゴリズムスキームを提案した。
• 区間グラフの場合、区間表現と右端点に基づく頂点ラベル付けを用いて標準支配集合を構築した。
• 木の場合、閉近傍における右端頂点選択を用いた、左から右への貪欲なラベル付け戦略を適用した。
• コグラフの場合、モジュラ分解とP4自由構造を活用して標準支配集合を定義した。
• 任意の有効な支配集合から標準支配集合への再構成列がO(n)の操作で可能であることを示し、線形時間での解法が保証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的グラフ、帯域幅が有界なグラフ、スプリットグラフ、二部グラフにおける支配集合再構成の複雑性は何か？
• RQ2 標準支配集合を有するグラフクラスにおいて、再構成のための一般化されたアルゴリズムフレームワークを設計可能か？
• RQ3 コグラフ、木、区間グラフのような tractable グラフクラスにおいて、再構成列の長さはO(n)で有界か？
• RQ4 グラフのどの構造的性質が、再構成問題がPSPACE完全か、線形時間で解けるかを決定するか？

主な発見

• 支配集合再構成問題は、平面的グラフ、帯域幅が有界なグラフ、スプリットグラフ、二部グラフに対してもPSPACE完全である。
• コグラフ、木、区間グラフにおける一般化された線形時間アルゴリズムフレームワークが開発され、効率的な再構成列計算が可能になった。
• コグラフ、木、区間グラフにおいて、サイズがk以下の任意の2つの支配集合間の再構成列はO(n)ステップで構築可能である。
• 区間グラフにおける標準支配集合は、区間の端点に基づくラベル付けにより構築され、再構成を介して最小かつ普遍的であることが証明された。
• 弦的グラフに対しても問題はPSPACE完全のままであり、区間グラフとその上位クラスとの間で複雑性の鋭い境界が存在することが示された。
• すべての tractable ケースにおいて再構成列長がO(n)で有界であることが確認され、頂点操作の観点から最適またはほぼ最適な効率性が示された。