[論文レビュー] The Complexity of Downward Closure Comparisons

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限オートマトン、1カウンタオートマトン、リバースバウンデッドカウンタオートマトン、および文脈自由文法によって生成される言語のダウンワードクロージャー間の包含関係および同値性を決定するための計算複雑性を調査する。多数の組み合わせについて完全性結果を確立し、複雑性がcoNPからcoNEXPにまで及ぶことを示し、ピトリネット言語についてはアッカーマンハードネス、高階ポッシュダウンオートマトン（順序k）についてはco-k-NEXPハードネスを証明する。

ABSTRACT

The downward closure of a language is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of its members. It is well-known that the downward closure of every language is regular. Moreover, recent results show that downward closures are computable for quite powerful system models. One advantage of abstracting a language by its downward closure is that then equivalence and inclusion become decidable. In this work, we study the complexity of these two problems. More precisely, we consider the following decision problems: Given languages $K$ and $L$ from classes $\mathcal{C}$ and $\mathcal{D}$, respectively, does the downward closure of $K$ include (equal) that of $L$? These problems are investigated for finite automata, one-counter automata, context-free grammars, and reversal-bounded counter automata. For each combination, we prove a completeness result either for fixed or for arbitrary alphabets. Moreover, for Petri net languages, we show that both problems are Ackermann-hard and for higher-order pushdown automata of order~$k$, we prove hardness for complements of nondeterministic $k$-fold exponential time.

研究の動機と目的

• 有限オートマトン、1カウンタオートマトン、リバースバウンデッドカウンタオートマトン、文脈自由文法といった主要なオートマトンモデルについて、ある言語のダウンワードクロージャーが別の言語のダウンワードクロージャーを含むか等しいかを決定する計算複雑性を特定すること。
• 正規言語を超えるダウンワードクロージャー比較に関して、先行研究のギャップを埋めるために完全性結果を確立すること。
• 入力アルファベットを固定するか任意にするかが、これらの決定問題の複雑性に与える影響を分析すること。
• ダウンワードクロージャー比較問題の下界を証明するための一般的手法を開発すること。
• ピトリネット言語や高階ポッシュダウンオートマトンといった強力なモデルへの複雑性結果を拡張すること。

提案手法

• 有限オートマトン、1カウンタオートマトン、リバースバウンデッドカウンタオートマトン、文脈自由文法の各モデルについて、ダウンワードクロージャー包含および同値性問題の完全性結果を証明する。
• 小さな証拠（small witnesses）に関する一般結果を用いて、決定問題の上界を導出する。
• 上界の証明を支援するための、モデル固有のダウンワードクロージャーの性質を確立する。
• coNTIME(t)問題からダウンワードクロージャー比較問題への還元を用いて、下界を証明する一般手法を開発する。
• 還元フレームワーク内で誤った計算符号化をシミュレートするために、多項式時間の有理変換（rational transductions）を構築する。
• 関数の拡張（amplifying functions）と慎重に選ばれた語長を用いて、チューリングマシンの計算を言語構造に符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限オートマトン、1カウンタオートマトン、リバースバウンデッドカウンタオートマトン、文脈自由文法について、言語Kのダウンワードクロージャーが言語Lのダウンワードクロージャーを含むかどうかを決定する際の複雑性は何か？
• RQ2 入力アルファベットを固定することにより、ダウンワードクロージャー包含関係および同値性問題の複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 ピトリネット言語および順序kの高階ポッシュダウンオートマトンについて、ダウンワードクロージャー比較の複雑性は何か？
• RQ4 さまざまなオートマトンモデルにわたるダウンワードクロージャー比較問題のハードネス結果を証明するために、一般還元技術を用いることができるか？
• RQ5 ダウンワードクロージャーに特有の構造的性質は、タイトな複雑性境界を導出するために活用可能か？

主な発見

• 有限オートマトンについて、ダウンワードクロージャー包含および同値性問題は、2文字アルファベットであってもcoNP完全である。
• 1カウンタオートマトンおよびリバースバウンデッドカウンタオートマトン（固定されたカウンタ数およびリバース回数を想定）について、アルファベットが固定されている場合、問題はcoNP完全である。
• 文脈自由文法および一般のリバースバウンデッドカウンタオートマトンについて、問題はcoNEXP完全であるが、すべての組み合わせについて完全性は証明されていない。
• ピトリネット言語のダウンワードクロージャー比較問題はアッカーマンハードであるため、極めて高い複雑性を示している。
• 順序kの高階ポッシュダウンオートマトンについて、問題はco-k-NEXPハードであるため、kが増加するにつれて複雑性の階層が明確に現れている。
• チューリングマシンの非受容計算を言語符号化に符号化することで、ダウンワードクロージャー問題のハードネスを証明する一般還元フレームワークが開発された。