[論文レビュー] The Complexity of Finding Fair Many-To-One Matchings

Niclas Boehmer, Tomohiro Koana|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二部グラフにおける公平な多対一マッチングの計算複雑性を検討し、色の分布制約（具体的には、色の数の最大差を最小化するMax-Minまたは勝利の余地を制限するMoV）によって公平性を定義する。著者は、右側頂点数をパラメータとして固定パラメータ動的（FPT）アルゴリズムを提示し、整数線形計画法（ILP）と超モジュラー関数のための新規分離定理を用いる。主たる貢献は、非空制約が存在する場合でさえも、両方の公平性基準に対してFPTアルゴリズムを確立したことであり、色数や最大次数といったパラメータにおける完全な複雑性の分類がなされている。

ABSTRACT

We analyze the (parameterized) computational complexity of "fair" variants of bipartite many-to-one matching, where each vertex from the "left" side is matched to exactly one vertex and each vertex from the "right" side may be matched to multiple vertices. We want to find a "fair" matching, in which each vertex from the right side is matched to a "fair" set of vertices. Assuming that each vertex from the left side has one color modeling its attribute, we study two fairness criteria. In one of them, we deem a vertex set fair if for any two colors, the difference between the numbers of their occurrences does not exceed a given threshold. Fairness is relevant when finding many-to-one matchings between students and colleges, voters and constituencies, and applicants and firms. Here colors may model sociodemographic attributes, party memberships, and qualifications, respectively. We show that finding a fair many-to-one matching is NP-hard even for three colors and maximum degree five. Our main contribution is the design of fixed-parameter tractable algorithms with respect to the number of vertices on the right side. Our algorithms make use of a variety of techniques including color coding. At the core lie integer linear programs encoding Hall like conditions. To establish the correctness of our integer programs, we prove a new separation result, inspired by Frank's separation theorem [Frank, Discrete Math. 1982], which may also be of independent interest. We further obtain complete complexity dichotomies regarding the number of colors and the maximum degree of each side.

研究の動機と目的

• Max-Min（色の数の差を最小化）およびMoV（特定の色の優位性を制限）という2つの公平性基準の下での公平な多対一マッチングの計算複雑性を分析すること。
• 右側頂点数（k）、色数（|C|）、最大次数（∆U、∆V）といった主要パラメータに関して、これらの問題のパラメータ化された tractability を特定すること。
• 赤istricting、大学入試、就職市場の割り当てといった応用分野における、属性（色）のバランスの取れた代表を必要とする公平なマッチングのための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 色数 |C|、∆U、∆V といったパラメータにおいて、公平性問題の完全な複雑性の地図を確立すること（分類定理の証明）。

提案手法

• 右側頂点数（k）をパラメータとする固定パラメータ動的（FPT）アルゴリズムの設計。右側頂点に対する公平マッチングのハル的条件を、次元が有界な整数線形計画法（ILP）で表現する。
• フランクの分離定理にインspiredされた、超モジュラー関数のための新規「接触分離定理」を導入し、ILP定式化の正しさを形式的に裏付ける。
• MoV公平性基準に対して、色コーディング技術とILPを併用することで、勝利の余地制約下での公平な部分集合の効率的検出を可能にする。
• 公平性制約を線形不等式のシステムとして定式化し、各右側頂点ごとに色の数の差や勝利の余地を制限することで公平性を強制する。
• 完全二部グラフにおいて、Max-MinおよびMoV公平マッチングが、右側頂点の非空制約が存在する場合でさえも線形時間で解けることを証明する。
• 帰納法と構成的分割を用いて、特に0-公平集合に対して、サイズおよび色の分布条件を満たすと公平マッチングが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Max-MinおよびMoV公平マッチングは、右側頂点数（k）に関して固定パラメータ動的（FPT）であるか？
• RQ2 各右側頂点が少なくとも1つの左側頂点にマッチングされなければならないという制約下でも、両方の公平性基準に対してFPTアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 色数（|C|）、最大次数∆U、∆V に関してパラメータ化された場合、Max-MinおよびMoV公平マッチングの正確な計算複雑性は何か？
• RQ4 ILP定式化における制約行列の構造（特にℓ=0の場合）は、O⋆(2k)時間といったより高速なアルゴリズムの可能性を秘めているか？
• RQ5 提案されたFPTアルゴリズムは、右側頂点に対する任意のサイズ制約に対しても拡張可能か？

主な発見

• Max-MinおよびMoV公平マッチングは、3色かつ最大次数5の条件下ですらNP困難であることが示され、緩い条件下でも強い非決定的性が立証された。
• 右側頂点数（k）に関して、これらの問題は固定パラメータ動的（FPT）であり、次元が有界なILPと色コーディングに基づくFPTアルゴリズムが存在する。
• 超モジュラー関数のための新規「接触分離定理」が証明され、これはILP定式化の正当性を裏付ける上で不可欠であり、独立した理論的関心を引く可能性がある。
• 完全二部グラフにおいて、Max-MinおよびMoV公平マッチングは、右側頂点の非空制約が存在する場合でさえも線形時間で解ける。
• 問題の複雑性は完全に分類されており、分類定理により、|C| = 2の場合は多項式時間で解けるが、|C| ≥3の場合はNP困難であることが示された。
• 本稿は、Max-MinおよびMoV公平マッチングが、kおよび左側頂点数nの両方に関してFPTであることを確立し、自然なパラメータ化の下での tractability を確認した。