[論文レビュー] The Complexity of Games on Higher Order Pushdown Automata

Thierry Cachat, Igor Walukiewicz|arXiv (Cornell University)|May 2, 2007

Formal Methods in Verification参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、n階型スタック自動機（n-HPDA）における到達可能性ゲームについて、n-exptimeの下界を確立し、同じモデルにおけるパリティゲームの既知の上界と一致させている。主な貢献は、n-HPDAにおける到達可能性ゲームおよびパリティゲームが両方ともn-exptime完全であることを証明したことであり、これによりn-HPDAグラフ上のμ計算のモデルチェックがn-exptime完全であることも示され、これらの基本的決定問題の複雑さが解明された。

ABSTRACT

We prove an n-EXPTIME lower bound for the problem of deciding the winner in a reachability game on Higher Order Pushdown Automata (HPDA) of level n. This bound matches the known upper bound for parity games on HPDA. As a consequence the mu-calculus model checking over graphs given by n-HPDA is n-EXPTIME complete.

研究の動機と目的

• 到達可能性ゲームのn-HPDAにおける複雑さのギャップを埋めるために、n-HPDAにおける到達可能性ゲームのタイトな下界を確立すること。
• n-HPDAにおける到達可能性ゲームの複雑さが、既知のn-exptime上界と一致することを示し、完全性を示すこと。
• この結果をパリティゲームおよびμ計算のモデルチェックに拡張し、これらの問題がn-exptime完全であることを証明すること。
• ネストされたカウンターやストアのコピーを用いて、指数的空間を持つ交互チューリング機械をシミュレートする能力を示すこと。
• 交互指数空間チューリング機械の構成をHPDAのストアにエンコードする自己完結的な証明技法を提供すること。

提案手法

• 著者らは、交互指数空間チューリング機械の受理問題を2-HPDAにおける到達可能性ゲームに還元し、構成と遷移規則のゲームベースのエンコードを用いた。
• プレイヤー0はチューリング機械の構成を記述しなければならず、プレイヤー1はネストされたカウンターやストアのコピーを用いて、遷移の整合性を検証することで挑戦できるゲーム構造を設計した。
• 1つのカウンターは個々の記号を、2つのカウンターは構成を、高階のストアは高階スタック操作をシミュレートするためのカウンターヒエラルキーを用いた。
• 重要な技術的特徴として、異なるレベルでのプッシュとポップ操作を用いて、ストアの一部をコピーし、構成を比較して遷移の正しさを検証する手法を採用した。
• プレイヤー0は、違反に捕捉されずに受理構成を正しく記述できた場合にのみゲームに勝利する。これは、チューリング機械の有効な受理走査に一致する。
• この構成は、カウンターヒエラルキーを拡張することでk-HPDAに一般化され、k-HPDAが交互k-指数空間チューリング機械をシミュレートできることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-HPDAにおける到達可能性ゲームの複雑さは、厳密にn-exptime完全であるか？
• RQ2 高階スタック自動機は、指数的空間を持つ交互チューリング機械をシミュレートできるか？
• RQ3 n-HPDAにおけるパリティゲームの複雑さは、到達可能性ゲームの複雑さと一致するか？
• RQ4 n-HPDAグラフ上のμ計算のモデルチェック問題がn-exptime完全であることを示せるか？
• RQ5 交互指数空間マシンを高階スタック系を用いてシミュレートするために必要な最小の表現力は何か？

主な発見

• n-HPDAにおける到達可能性ゲームはn-exptimeハードであり、既知のn-exptime上界と一致するため、n-exptime完全性が確立された。
• 同じ複雑さはn-HPDAにおけるパリティゲームに対しても成り立ち、最も単純なゲームタイプですら、最も一般なものと同等に難しいことが確認された。
• n-HPDAグラフ上で生成されるμ計算のモデルチェックはn-exptime完全である。これは、この基本的検証問題の正確な複雑さが解明されたことを示している。
• この構成により、交互指数空間チューリング機械の受理問題から2-HPDAにおける到達可能性ゲームへの多項式時間還元が得られた。
• ネストされたカウンターやストアのコピーを用いた証明技法は、HPDAが複雑な計算プロセスをシミュレートする能力を示している。
• 結果として、HPDAの階層が厳密であり、それゆえにグラフのCaucal階層も完全性結果の結果として厳密であることが示唆された。