[論文レビュー] The Complexity of HCP in Digraps with Degree Bound Two

Guohun Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2007

Graph theory and applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最大入次数および出次数が2である有向グラフ（有向グラフ）におけるハミルトン閉路問題（HCP）に対して、多項式時間アルゴリズムを提案する。その手法は、有向グラフをバランスドな二部グラフに変換し、HCPを完全マッチング問題に還元することに拠る。本稿は、この制限付きクラスにおけるHCPがNP完全であると同時に多項式時間で解けることから、P = NPを主張している。

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem (HCP) in digraphs D with degree bound two is solved by two mappings in this paper. The first bijection is between an incidence matrix C_{nm} of simple digraph and an incidence matrix F of balanced bipartite undirected graph G; The second mapping is from a perfect matching of G to a cycle of D. It proves that the complexity of HCP in D is polynomial, and finding a second non-isomorphism Hamiltonian cycle from a given Hamiltonian digraph with degree bound two is also polynomial. Lastly it deduces P=NP base on the results.

研究の動機と目的

• 最大入次数および出次数が2である有向グラフにおけるハミルトン閉路問題（HCP）の複雑性を解明すること。
• このような有向グラフにおけるHCPを、導出されたバランスドな二部グラフにおける完全マッチング問題への多項式時間還元を確立すること。
• これらの有向グラフにおけるハミルトン閉路の存在が、O(n⁴)時間で決定できることを証明すること。
• このNP完全問題が多項式時間で解けることから、P = NPであると主張すること。

提案手法

• 有向グラフDのインシデント行列を用いて、正および負のインシデント行列を組み合わせる写像Fを用いて、プロジェクターグラフGを構築する。
• 得られるグラフGが、最大次数2で、かつ長さ4の成分を最大n/4個もつバランスドな二部グラフであることを証明する。
• 有向グラフDにおけるHCPを、Gにおける完全マッチングMの問題に還元し、変換されたインシデント行列のランクr(F⁻¹(M)) = n−1を満たすようにする。
• 線形に多くの非同型な完全マッチングのみを検査する必要があることを保証するため、成分数を表す単調関数f(M)を用いる。
• Hopcroft-Karpアルゴリズムを用いてO((m+n)√n)時間で完全マッチングを発見し、ランク条件を検証してハミルトン閉路の存在を確認する。
• 一般の有向グラフ（次数≤2）に対し、頂点分割を用いてΓ-有向グラフに変換し、同様の手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大入次数および出次数が2である有向グラフにおけるハミルトン閉路問題は、多項式時間で解けるか？
• RQ2 このような有向グラフにおけるハミルトン閉路と、導出されたバランスドな二部グラフにおける完全マッチングの間に一対一対応が存在するか？
• RQ3 このNP完全部分クラスに対して多項式時間アルゴリズムが存在するならば、P = NPであると主張できるか？
• RQ4 このような有向グラフにおける非同型なハミルトン閉路の数は、効率的に列挙可能か？
• RQ5 一般の有向グラフ（次数制限2）におけるHCPは、頂点分割を用いてΓ-有向グラフにおけるHCPに還元可能か？

主な発見

• 最大入次数および出次数が2である有向グラフにおけるHCPは、バランスドな二部グラフにおける完全マッチング問題への還元を用いてO(n⁴)時間で解ける。
• 元の有向グラフにおけるハミルトン閉路と、プロジェクターグラフGにおける完全マッチングM（r(F⁻¹(M)) = n−1を満たすもの）との間に一対一対応が存在する。
• 非同型な完全マッチングの数はnに比例するため、全探索が多項式時間で可能である。
• 本稿は、このNP完全問題が多項式時間で解けることから、P = NPであると主張しており、Cookの提案に基づいている。
• 頂点分割変換はハミルトン閉路を保存し、一般の有向グラフ（次数≤2）をΓ-有向グラフに写像する。
• 本手法により、次数制限2のハミルトン有向グラフにおける第二の非同型なハミルトン閉路の探索も多項式時間で可能であることが確認された。