[論文レビュー] The complexity of isomorphism between countably based profinite groups

André Nies|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は記述的集合論におけるボレル還元を用いて、可算基底を持つプロファイント群の同型の複雑さを調査する。トポロジカルに有限生成なプロファイント群の同型は、実数上の恒等関係と同程度の複雑さであることが示され、一般のプロファイント群の同型は $S_\infty$-軌道同値関係の完全性を示す。これは、可算グラフの同型と同等の複雑さである。

ABSTRACT

A topological group G is profinite if it is compact and totally disconnected. Equivalently, G is the inverse limit of a surjective system of finite groups carrying the discrete topology. We discuss how to represent a countably based profinite group as a point in a Polish space. Then we study the complexity of isomorphism using the theory of Borel reducibility in descriptive set theory. For topologically finitely generated profinite groups this complexity is the same as the one of identity for reals. In general, it is the same as the complexity of isomorphism for countable graphs.

研究の動機と目的

• 可算基底を持つプロファイント群の同型の記述的集合論的複雑さを特定すること。
• ボレル還元を用いて同型の複雑さを分類し、既知の同値関係と比較すること。
• トポロジカルに有限生成なプロファイント群の同型は、実数上の恒等関係と同等の低複雑さを示すこと。
• 一般のプロファイント群の同型が $S_\infty$-軌道同値関係の完全性を示すこと。
• 可算基底を持つプロファイント群を可測分類が可能なポーランド空間として表現すること。

提案手法

• 有限商群の逆極限として、可算基底を持つプロファイント群をポーランド空間の点として表現する。
• ボレル還元を用いて、同型の複雑さを実数上の恒等関係や $S_\infty$-軌道同値関係といった標準的同値関係と比較する。
• ルボツキーの結果を応用し、トポロジカルに有限生成なプロファイント群の同型が閉じた同値関係であることを示し、したがって実数上の恒等関係よりボレルで下位であることを示す。
• 自由プロファイント群 $\widehat{F}_\omega$ の普遍性を活用し、任意のプロファイント群を $\widehat{F}_\omega$ の商として表現する。
• $R$ を閉じた正規部分群とする $G = \widehat{F}_k / R$ の群構造を用いて、中心化群の大きさと交換子関係を分析し、$S_\infty$-完全性の証明を進める。
• 関連するグラフ $A$ の生成子の隣接構造に基づく場合分けにより、中心化群を分類し、要素の同型型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルに有限生成なプロファイント群の同型のボレル複雑度は何か？
• RQ2 一般のプロファイント群の同型の複雑さは、記述的集合論における既知の同値関係とどのように比較できるか？
• RQ3 可算基底を持つプロファイント群は、一様にポーランド空間に表現可能であり、可測分類が可能か？
• RQ4 プロファイント群の同型は $S_\infty$-軌道同値関係の完全性を示すか？
• RQ5 プロファイント群の位相的構造が、その同型型をどの程度決定づけるか？

主な発見

• トポロジカルに有限生成なプロファイント群の同型は、実数上の恒等関係へのボレル還元が可能であり、低複雑度であることを示す。
• 一般の可算基底を持つプロファイント群の同型関係は、$S_\infty$-軌道同値関係の完全性を示す。
• これは、プロファイント群の同型問題が、既知の $S_\infty$-完全問題である可算グラフの同型と同等の複雑さであることを示唆する。
• 証明は、生成子の隣接構造に関するグラフ論的性質を用いて、自由プロファイント群 $\widehat{F}_\omega$ の商における要素の中心化群を分析することに依拠している。
• 商群における中心化群の大きさは、関連するグラフ $A$ の構造に依存し、場合により $p-1$、$(p-1)^2$、または $p(p-1)$ となる。
• 生成子のグラフに三角形や正方形がない場合、中心化群は単一の要素で生成され、共役類には $p-1$ 個の要素が存在する。