[論文レビュー] The Complexity of Multi-Mean-Payoff and Multi-Energy Games

Yaron Velner, Krishnendu Chatterjee+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複数の目的を持つ多平均報酬ゲームおよび多エネルギーゲームの計算複雑性を確立し、有限記憶戦略が両ゲームタイプにおいて共に coNP-完全であることを証明している。これは、従来の EXPSPACE 上界と下界が不明であった長年のギャップを解消するものである。さらに、特定の多平均報酬ゲームにおいてプレイヤー2の無記憶戦略が十分であることを示し、無記憶戦略の最適な複雑性境界を提示している。これには、平均報酬上界条件のための NP ∩ coNP および平均報酬下界条件のための coNP-完全性が含まれる。

ABSTRACT

In mean-payoff games, the objective of the protagonist is to ensure that the limit average of an infinite sequence of numeric weights is nonnegative. In energy games, the objective is to ensure that the running sum of weights is always nonnegative. Multi-mean-payoff and multi-energy games replace individual weights by tuples, and the limit average (resp. running sum) of each coordinate must be (resp. remain) nonnegative. These games have applications in the synthesis of resource-bounded processes with multiple resources. We prove the finite-memory determinacy of multi-energy games and show the inter-reducibility of multimean-payoff and multi-energy games for finite-memory strategies. We also improve the computational complexity for solving both classes of games with finite-memory strategies: while the previously best known upper bound was EXPSPACE, and no lower bound was known, we give an optimal coNP-complete bound. For memoryless strategies, we show that the problem of deciding the existence of a winning strategy for the protagonist is NP-complete. Finally we present the first solution of multi-meanpayoff games with infinite-memory strategies. We show that multi-mean-payoff games with mean-payoff-sup objectives can be decided in NP and coNP, whereas multi-mean-payoff games with mean-payoff-inf objectives are coNP-complete.

研究の動機と目的

• 従来の EXPSPACE 上界と下界が不明であった状況において、有限記憶戦略下での多平均報酬ゲームおよび多エネルギーゲームの計算複雑性を解消すること。
• 多エネルギーゲームにおける有限記憶戦略の決定性を確立し、有限記憶戦略下での多平均報酬ゲームと多エネルギーゲームの相互還元性を示すこと。
• 特に下界および上界平均報酬条件を含む混合目的を有するゲームにおいて、無記憶および無限記憶戦略下でのこれらのゲームの解法の複雑性を特定すること。
• 有限記憶戦略および無限記憶戦略クラスの両方に対して最適な複雑性境界を提供すること。これには、NP ∩ coNP および coNP-完全性の結果が含まれる。
• 複数の平均および累積的リソース使用制約を有する定量的ゲームとしての形式的定式化を通じて、リソース制限付きリアクティブシステムの合成を支援すること。

提案手法

• ゲーム理論的および構造的解析を用いて、有限記憶戦略下での多エネルギーゲームの有限記憶戦略の決定性および多エネルギーゲームと多平均報酬ゲームの相互還元性を証明した。
• ゲームグラフ上の帰納的構成およびアトラクターに基づく分解を用いて、平均報酬下界上界目的におけるプレイヤー2の無記憶勝利戦略の存在を示した。
• 複雑な多目的条件を単純な目的（例：平均報酬下界および平均報酬上界）の論理積に還元することで、1人ゲームにおける多項式時間検証を可能にした。
• 単一目的平均報酬ゲーム（例：平均報酬下界の多項式時間解法）の結果を活用し、還元を介して coNP 上界を確立した。
• ゲーム分解技術および無記憶戦略構成を用いて、勝利領域が有限状態オートマトンおよびアトラクター計算を介して計算可能であることを証明した。
• 論理的および構造的還元を用いて、無限記憶戦略を用いた多平均報酬ゲームの解法が、上界目的では NP ∩ coNP に属し、下界目的では coNP-完全であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限記憶戦略を用いた多エネルギーゲームの解法の正確な計算複雑性は何か？
• RQ2 有限記憶戦略下で多平均報酬ゲームと多エネルギーゲームは相互に還元可能か？
• RQ3 下界および上界平均報酬条件を含む混合目的を持つ多平均報酬ゲームにおいて、無記憶戦略がプレイヤー2に十分か？
• RQ4 特に平均報酬下界および平均報酬上界目的を含む無限記憶戦略下での多平均報酬ゲームの解法の複雑性は何か？
• RQ5 有限記憶戦略の決定性は、多エネルギーおよび多平均報酬ゲームにおいて任意の戦略下でも決定性を意味するか？

主な発見

• 有限記憶戦略を用いた多エネルギーおよび多平均報酬ゲームの解法の複雑性は coNP-完全であり、従来の EXPSPACE 上界とのギャップが閉じられた。
• 有限記憶戦略下で多エネルギーおよび多平均報酬ゲームは相互に還元可能であり、この戦略クラスにおける計算複雑性の同等性が確立された。
• 無記憶戦略下では、両ゲームタイプの意思決定問題は NP-完全である。これは、この制限付き設定下での tractability（容易性）を確認するものである。
• 平均報酬上界目的を有する多平均報酬ゲームにおける無限記憶戦略の解法は NP ∩ coNP で決定可能であり、単一目的平均報酬ゲームが P に属するならば、問題は P に属する。
• 平均報酬下界目的を有する多平均報酬ゲームは coNP-完全であり、平均報酬下界および上界の組み合わせも同様に coNP-完全である。
• 多エネルギーゲームでは有限記憶戦略の決定性が成立し、これは任意の戦略下での決定性と一致するが、多平均報酬ゲームでは戦略クラスごとに決定性が異なる。