[論文レビュー] The complexity of multiple-precision arithmetic

Richard P. Brent|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 32被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、可変精度算術における複数精度演算の計算量的複雑性を分析し、加算、乗算、除算、平方根、超越関数の各操作に必要な単精度演算の数に対するタイトな上界および下界を確立する。多数の基本的複数精度演算が乗算と線形的に同等であることを示し、変動精度算術を用いた非線形方程式の反復的解法における最適収束定数を導出し、実用上は逆二次補間法がほぼ最適であることが明らかになる。

ABSTRACT

In studying the complexity of iterative processes it is usually assumed that the arithmetic operations of addition, multiplication, and division can be performed in certain constant times. This assumption is invalid if the precision required increases as the computation proceeds. We give upper and lower bounds on the number of single-precision operations required to perform various multiple-precision operations, and deduce some interesting consequences concerning the relative efficiencies of methods for solving nonlinear equations using variable-length multiple-precision arithmetic. A postscript describes more recent developments.

研究の動機と目的

• 可変精度下での複数精度算術演算の計算量的複雑性を分析すること。
• 加算、乗算、除算、平方根などの基本的演算に必要な単精度演算の数に対するタイトな上界および下界を確立すること。
• 変動精度算術が非線形方程式の反復的解法の効率に与える影響を調査すること。
• さまざまな零点探索法の漸近的収束定数を特定し、精度の増加率αに応じた最適戦略を同定すること。
• 非線形方程式の解法において、固定精度法と変動精度法の相対的効率を比較し、直感に反する結果を明らかにすること。

提案手法

• 数値がnビットの分数部を持つと仮定し、標準的な浮動小数点形式と限られたメモリを想定する複数精度算術のモデルを用いる。
• 時間計算量の漸近的解析を実施し、精度nにおける演算Bの最悪実行時間t_n(B)を表記し、演算間の線形還元可能性および同等性を定義する。
• 複数精度加算、減算、スケーリングが互いに線形的に同等であり、単精度数の基本的演算と同等であることを確立する。
• 除算、自乗、平方根計算が既知のアルゴリズムおよび複雑性境界を用いて乗算と線形的に同等であることを示す。
• 超越関数（exp、log、三角関数など）を分析し、標準的仮定下でそれらが互いに線形的に同等であり、かつ乗算とも同等であることを示す。
• さまざまな零点探索法の漸近的定数C(α)を導出し、反復回数に伴う精度の増加率αに応じて最適な方法を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数精度加算および関連演算の計算量的複雑性は何か？ また、それらは単精度演算とどのように関係するか？
• RQ2 複数精度除算、平方根、自乗演算は乗算と線形的に同等か？ その複雑性の境界は何か？
• RQ3 指数関数、対数関数、三角関数などの基本的超越関数の複雑性は、乗算および互いにどのように比較できるか？
• RQ4 変動精度算術を用いた非線形方程式の反復的解法における最適収束定数は何か？
• RQ5 反復回数に伴い精度が増加する際、さまざまな零点探索法の相対的効率はどのように変化するか？ どの手法が漸近的に最適か？

主な発見

• 複数精度加算、減算、スケーリングは単精度演算と線形的に同等であり、nビット精度ではO(n)の時間が必要である。
• 除算、自乗、平方根計算は乗算と線形的に同等であり、M(n)（nビット数の乗算に要する時間）の複雑性O(M(n))を示す。
• 指数関数、対数関数、三角関数などの超越関数は、標準的仮定下で乗算および互いに線形的に同等である。
• 逆二次補間法（I_μ、μ=σ≈0.5436）はα ≤ 4.6056の場合に漸近的に最適であり、最小の収束定数C_I(α)を達成する。
• α > 5.0608では最適なセカント法S_2が逆補間法よりも効率的となり、α > 8.7143では最適な離散ニュートン法が最良となる。
• 任意の適切に定義され収束する複数精度法の漸近的定数C(α)はC(α) ≥ 1を満たし、α → ∞のときこの下界はタイトである。