[論文レビュー] The Complexity of Packing Edge-Disjoint Paths

Jan Dreier, Janosch Fuchs+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアンパス問題の一般化であるエッジ素性パスパッキングのパrameterized複雑性を調査する。木構造のグラフに対して、パス数をパrameterとするFPTアルゴリズムを提示し、木幅が2のグラフ上ではW[1]-hardであることを示している。主な貢献は、最大次数、連結成分数、高次度頂点数をパrameterとするXPアルゴリズムの実行時間とほぼ一致するETHに基づく下界を確立したことである。

ABSTRACT

We introduce and study the complexity of Path Packing. Given a graph $G$ and a list of paths, the task is to embed the paths edge-disjoint in $G$. This generalizes the well known Hamiltonian-Path problem. Since Hamiltonian Path is efficiently solvable for graphs of small treewidth, we study how this result translates to the much more general Path Packing. On the positive side, we give an FPT-algorithm on trees for the number of paths as parameter. Further, we give an XP-algorithm with the combined parameters maximal degree, number of connected components and number of nodes of degree at least three. Surprisingly the latter is an almost tight result by runtime and parameterization. We show an ETH lower bound almost matching our runtime. Moreover, if two of the three values are constant and one is unbounded the problem becomes NP-hard. Further, we study restrictions to the given list of paths. On the positive side, we present an FPT-algorithm parameterized by the sum of the lengths of the paths. Packing paths of length two is polynomial time solvable, while packing paths of length three is NP-hard. Finally, even the spacial case EPC where the paths have to cover every edge in $G$ exactly once is already NP-hard for two paths on 4-regular graphs.

研究の動機と目的

• グラフにおけるエッジ素性パスパッキングのパrameterized複雑性を分析すること。
• ハミルトニアンパス問題をより一般化したパスパッキング問題に一般化すること。
• tractableなパrameter化を同定し、タイトな複雑性境界を確立すること。
• パス長の制限およびExactパスパッキング変種を研究すること。
• パスパッキングと他のグラフ分割問題との関係を調査すること。

提案手法

• サブキュービックな森におけるパスパッキングに対して、推測されたカット頂点に基づく動的計画法を用いたFPTアルゴリズムを提案する。
• ETH下界を確立するために、マルチウェイ数分割問題への還元を導入する。
• 高次度頂点におけるマルチグラフ表現を用いて、関連するパスカットの数を制限する。
• 頂点素性パスセグメント上のユニタリ符号化されたビンパッキング問題を動的計画法で解く。
• 数分割インスタンスをシミュレートするために、分割されたスターモデルの構築を用いる。
• パス埋め込みの構造的性質を分析し、候補となるカット集合の数をO(n + k²)に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス数をパrameterとする場合、木または森におけるパスパッキングは固定パラメータ可 tractable か？
• RQ2 有界な木幅を持つグラフにおけるパスパッキングのパrameterized複雑性は何か？
• RQ3 制限されたパス長またはグラフクラスに対して、Exactパスパッキングは効率的に解けるか？
• RQ4 最大次数、連結成分数、次数≥3の頂点数の組み合わせパラメータが、 tractability に与える影響は何か？
• RQ5 指数時間仮説（ETH）下で、パスパッキングの最良の実行時間下界は何か？

主な発見

• サブキュービックな森におけるパスパッキングのFPTアルゴリズムは、kをパス数として、時間 2^k n^{O(1)} で実行可能である。
• 問題は木幅2のグラフ上でW[1]-hardであり、ETHのもとでは f(k) n^{o(k / log k)} 時間で解けない。
• 最大次数、連結成分数、次数≥3の頂点数をパラメータとするXPアルゴリズムが存在し、実行時間は O((n + k^2)^{k^2} k! k n^{O(k^2)}) である。
• ETHによる下界はXP実行時間とほぼ一致しており、パラメータ化がほぼ最適であることを示唆している。
• Exactパスパッキングは、4正則グラフ上で2つのパスに対してもNP完全である。
• 長さ2のパスのパッキングは多項式時間で解けるが、長さ3のパスのパッキングはNP困難である。