[論文レビュー] The complexity of perfect matchings and packings in dense hypergraphs

Jie Han, Andrew Treglown|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、完全な $F$-パッキングの決定問題が多項式時間で解けるようなハイパーグラフのクラスを特定する一般構造定理（定理3.1）を導入する。この道具を用いて、最小 $σ$-次数条件における完全マッチングの検出、最小次数条件におけるグラフにおける完全 $F$-パッキング、$k$-グラフにおける完全 $K$-パッキングのための多項式時間アルゴリズムを確立する。これは、Keevash, Knox, Mycroftの予想を解消し、Yusterの問いに否定的に答え、条件を弱めた場合にNP完全性が示されることで、厳密性が確認される。

ABSTRACT

Given two $k$-graphs $H$ and $F$, a perfect $F$-packing in $H$ is a collection of vertex-disjoint copies of $F$ in $H$ which together cover all the vertices in $H$. In the case when $F$ is a single edge, a perfect $F$-packing is simply a perfect matching. For a given fixed $F$, it is often the case that the decision problem whether an $n$-vertex $k$-graph $H$ contains a perfect $F$-packing is NP-complete. Indeed, if $k \geq 3$, the corresponding problem for perfect matchings is NP-complete whilst if $k=2$ the problem is NP-complete in the case when $F$ has a component consisting of at least $3$ vertices. In this paper we give a general tool which can be used to determine classes of (hyper)graphs for which the corresponding decision problem for perfect $F$-packings is polynomial time solvable. We then give three applications of this tool: (i) Given $1\leq \ell \leq k-1$, we give a minimum $\ell$-degree condition for which it is polynomial time solvable to determine whether a $k$-graph satisfying this condition has a perfect matching; (ii) Given any graph $F$ we give a minimum degree condition for which it is polynomial time solvable to determine whether a graph satisfying this condition has a perfect $F$-packing; (iii) We also prove a similar result for perfect $K$-packings in $k$-graphs where $K$ is a $k$-partite $k$-graph. For a range of values of $\ell,k$ (i) resolves a conjecture of Keevash, Knox and Mycroft whilst (ii) answers a question of Yuster in the negative. In many cases our results are best possible in the sense that lowering the minimum degree condition means that the corresponding decision problem becomes NP-complete.

研究の動機と目的

• 完全な $F$-パッキングの決定問題が多項式時間で解けるようなハイパーグラフのクラスを特定するための一般的構造的ツールの開発。
• Keevash, Knox, Mycroftが提起した、$k$-グラフにおける完全マッチングのための最小 $σ$-次数条件に関する予想の解消。
• Yusterが提起した、最小次数条件の下でグラフにおける完全 $F$-パッキングの多項式時間アルゴリズムの存在に関する問いへの回答。
• 完全パッキングの決定問題が多項式時間からNP完全に移行する閾値となる次数条件を特定すること。

提案手法

• 分割と閉包性質に基づいて、完全 $F$-パッキングを許容する $k$-グラフを特徴付ける一般構造定理（定理3.1）を導入する。
• $(F,\alpha,1)$-到達可能性と $F$-閉集合の概念を用いて、近傍構造と次数条件を分析する。
• 正則化法とハイパーグラフ正則化を用いて、問題を有界サイズのコセット群 $Q$ の可解性のテストに還元する。
• 最小次数条件が閾値 $\sigma(F)$ を超える場合、分割のクラス数とコセット群 $Q$ のサイズが有界であることに着目する。
• 二重数え上げと次数和の議論を用いて、任意の $m+1$ 個の頂点が、$(F,\alpha,1)$-到達可能なペアを含むことを示し、これにより補題6.3を用いた分割が可能になる。
• $(F,\beta,2^{m-1},1/m)$-良い分割を構成し、定理3.1を適用して決定問題を有界サイズのシステムの $q$-可解性のテストに還元する。このテストは多項式時間で計算可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの最小 $σ$-次数条件下で、$k$-グラフにおける完全マッチングの決定問題が多項式時間で解けるか？
• RQ2 任意の固定されたグラフ $F$ に対して、最小次数条件の下でグラフにおける完全 $F$-パッキングを検出する多項式時間アルゴリズムを構築できるか？
• RQ3 $k$-グラフにおける $k$-部グラフ $K$ の完全パッキングのための最小コードグレード条件は、存在するか？
• RQ4 完全 $F$-パッキングの決定問題の多項式時間解法の閾値が、予想された極値的閾値と一致するか、それとも厳密に高いか？
• RQ5 構造定理が特定した閾値より下に最小次数条件を下げるとき、決定問題の複雑さはどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、$\ell \geq 0.42k$ の条件下で、Keevash, Knox, Mycroftの予想を解消する、$k$-グラフにおける完全 $F$-パッキングの検出のための多項式時間アルゴリズムを確立した。
• 任意の固定されたグラフ $F$ に対して、完全 $F$-パッキングの決定問題が多項式時間で解ける最小次数閾値が存在することを証明した。Yusterの問いに否定的に答え、その存在を否定する。
• アルゴリズムの実行時間は $O(n^{m(2m-1)^m})$ であり、$m$ は $F$ の頂点数である。このアルゴリズムは頂点集合の最大 $m$ クラスへの分割と、有界サイズのシステムの可解性のテストに依存する。
• 最小次数が $\sigma(F)$ を超える場合、分割クラス数とコセット群 $Q$ のサイズが有界であることが示され、これにより効率的な意思決定が可能になる。
• 最小次数条件を下げるとうまくいかないことが示され、決定問題がNP完全になるため、閾値の厳密性が確認された。
• 構造定理（定理3.1）は、提示された3つの応用に限らず、他のハイパーグラフクラスにも一般に適用可能なフレームワークを提供する。