[論文レビュー] The complexity of quantum spin systems on a two-dimensional square lattice

Roberto I. Oliveira, Barbara M. Terhal|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 144

ひとこと要約

本稿では、中間者キュービットを用いた新しい摂動ガジェットを用いて、2次元正方形格子上のキュービットに制限された相互作用のもとで、2-LOCAL HAMILTONIAN問題が依然としてQMA完全のままであることを証明している。さらに、2-LOCAL 2D 相互作用下での量子アディアバティック計算と回路モデルの等価性を確立し、任意のk-局所的安定化空間（定数k）が2-局所的ハミルトニアンの基底状態として近似可能であることを示している。

ABSTRACT

The problem 2-LOCAL HAMILTONIAN has been shown to be complete for the quantumcomputational class QMA [1]. In this paper we show that this important problemremains QMA-complete when the interactions of the 2-local Hamiltonian are betweenqubits on a two-dimensional (2-D) square lattice. Our results are partially derived withnovel perturbation gadgets that employ mediator qubits which allow us to manipulatek-local interactions. As a side result, we obtain that quantum adiabatic computationusing 2-local interactions restricted to a 2-D square lattice is equivalent to the circuitmodel of quantum computation. Our perturbation method also shows how any stabilizerspace associated with a k-local stabilizer (for constant k) can be generated as anapproximate ground-space of a 2-local Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 相互作用が2次元正方形格子上に制限された場合の2-LOCAL HAMILTONIAN問題の計算複雑性を特定すること。
• 2-局所的ハミルトニアンにおいてk-局所的相互作用をシミュレート可能な、中間者キュービットを用いた新しい摂動ガジェットの開発。
• 2-局所的相互作用が2次元格子上に制限された場合の、量子アディアバティック計算と回路モデルの等価性の確立。
• 任意のk-局所的安定化空間（定数k）が、2-局所的ハミルトニアンの基底状態として近似可能であることを示すこと。

提案手法

• 2次元格子上の遠く離れたキュービット間の有効相互作用を中間者キュービットが媒介する、新しい摂動ガジェットの設計。
• 2次摂動理論を用いて、2-局所項から高次相互作用をシミュレートする有効ハミルトニアンを導出。
• これらのガジェットを介して、一般のk-局所的ハミルトニアンを2次元正方形格子上での等価な2-局所的ハミルトニアンに写像する構成。
• 得られた2-局所的ハミルトニアンの基底状態が、ターゲットのk-局所的安定化空間と高い忠実度で近似されることの証明。
• 既知のQMA完全問題からの還元を用いて、2次元格子制約下でも2-LOCAL HAMILTONIAN問題がQMA完全のままであることを示す。
• 2-局所的2次元相互作用が、ユニバーサル量子計算をシミュレートするのに十分であることを示すことにより、量子アディアバティック計算と回路モデルの等価性を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-LOCAL HAMILTONIAN問題は、キュービットの相互作用が2次元正方形格子上に制限された場合でも、依然としてQMA完全であるか？
• RQ2 中間者キュービットを用いた摂動ガジェットは、2次元格子上での2-局所的ハミルトニアンにおいてk-局所的相互作用をシミュレート可能か？
• RQ3 2-局所的相互作用が2次元正方形格子上に制限された場合、量子アディアバティック計算は回路モデルと同等の計算能力を持つか？
• RQ4 任意のk-局所的安定化空間（定数k）は、2次元格子上での2-局所的ハミルトニアンの近似的基底状態として実現可能か？
• RQ5 2次元格子上でユニバーサル量子計算を達成するために必要な最小限の2-局所的相互作用の集合は何か？

主な発見

• すべての相互作用が2次元正方形格子上の最近接キュービットに制限された場合でも、2-LOCAL HAMILTONIAN問題は依然としてQMA完全のままである。
• 中間者キュービットを用いた新しい摂動ガジェットは、2次元格子上での2-局所的ハミルトニアンにおいてk-局所的相互作用を効果的にシミュレートでき、ユニバーサル量子計算を可能にする。
• 2次元正方形格子上での2-局所的相互作用のみを用いた量子アディアバティック計算は、標準的な回路モデルの量子計算と計算的に同等である。
• 定数kに対するk-局所的安定化ハミルトニアンに関連する任意の安定化空間は、2次元格子上での2-局所的ハミルトニアンの基底状態として近似可能である。
• 摂動法により、基底状態における近似誤差が制御可能であり、摂動強度に伴い有利にスケーリングされることを保証している。
• 本研究の結果は、量子スピン系における幾何的制約とユニバーサル量子計算の完全な能力との間のタイトな接続を確立している。