[論文レビュー] The complexity of quantum support vector machines

Gian Gentinetta, Arne Thomsen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ノイズのある量子カーネル評価を伴う量子サポートベクターマシン（QSVM）の学習の計算複雑性を分析している。双対QSVMはO(M⁴.⁶⁷/ε²)の量子回路評価で学習可能であり、Pegasosに類似したプライマルアプローチはO(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})のスケーリングを示す。実験的結果はこれらの境界を確認している。近似QSVMはO(1/ε³)の最良スケーリングを達成するが、非凸性のためグローバル最適性の保証がない。

ABSTRACT

Quantum support vector machines employ quantum circuits to define the kernel function. It has been shown that this approach offers a provable exponential speedup compared to any known classical algorithm for certain data sets. The training of such models corresponds to solving a convex optimization problem either via its primal or dual formulation. Due to the probabilistic nature of quantum mechanics, the training algorithms are affected by statistical uncertainty, which has a major impact on their complexity. We show that the dual problem can be solved in $O(M^{4.67}/\varepsilon^2)$ quantum circuit evaluations, where $M$ denotes the size of the data set and $\varepsilon$ the solution accuracy compared to the ideal result from exact expectation values, which is only obtainable in theory. We prove under an empirically motivated assumption that the kernelized primal problem can alternatively be solved in $O(\min \{ M^2/\varepsilon^6, \, 1/\varepsilon^{10} \})$ evaluations by employing a generalization of a known classical algorithm called Pegasos. Accompanying empirical results demonstrate these analytical complexities to be essentially tight. In addition, we investigate a variational approximation to quantum support vector machines and show that their heuristic training achieves considerably better scaling in our experiments.

研究の動機と目的

• 現実的な量子ハードウェア制約下での量子サポートベクターマシン（QSVM）の学習複雑性を厳密に分析すること。
• 有限の量子回路測定からの統計的ノイズが最適化収束に与える影響を定量化すること。
• 有限のサンプリングを伴う量子カーネルを用いたQSVMの双対およびプライマル学習アプローチを比較すること。
• ヒューリスティックな変分学習手法の評価と、理論的境界に対するその実験的スケーリングの比較。
• 現在のノイズとリソース制約下で、QSVM学習における実用的量子優位性が可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 有限の測定ショットからのノイズのある期待値としてカーネル評価をモデル化することで、双対QSVM定式化を分析する。
• ノイズのあるハーフスペース学習の仮定の下で、双対問題の複雑性境界を導出。O(M⁴.⁶⁷/ε²)の回路評価が得られる。
• 古典的Pegasosアルゴリズムを量子カーネル設定に適応し、プライマル最適化の複雑性がO(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})の評価で成立することを証明する。
• 意思決定関数をパラメータ化するための変分量子回路を用いた近似QSVMを導入。これにより、より速い実験的スケーリングが可能になる。
• さまざまなショット数と次元数を用いたQASMシミュレータを用いて、理論的複雑性境界の実験的妥当性を検証する。
• 誤差とショット数のデータに対して対数対数フィッティングを適用し、実験的指数を抽出。理論的予測と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の量子測定からの統計的ノイズがカーネル評価に及ぼされる場合、量子サポートベクターマシンの学習に必要な計算複雑性はどの程度か？
• RQ2 現実的な量子ノイズ下で、データサイズMと解の精度εに応じて、双対QSVM定式化の複雑性はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 Pegasosのような確率的勾配法を用いたプライマルQSVM定式化は、量子カーネルノイズの下で双対アプローチよりも良いスケーリングを達成できるか？
• RQ4 変分近似QSVMの実験的スケーリングはどの程度か。理論的境界と比較するとどうなるか？
• RQ5 非凸性とグローバル最適性の保証の欠如を伴うが、近似QSVMは、実用的量子優位性への実行可能ルートを提供するか？

主な発見

• 双対QSVMは、ε-精度に到達するためのO(M⁴.⁶⁷/ε²)の量子回路評価を要する。これは、ショットノイズによる多項式的オーバーヘッドであり、古典的SVMと比較して顕著である。
• Pegasosに類似したアルゴリズムを用いたプライマルQSVMは、O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})の評価でスケーリングする。高精度の場合は1/ε¹⁰の項が支配的になる。
• 実験的結果は、理論的複雑性境界が本質的にタイトであることを確認しており、近似QSVMの測定されたεスケーリング指数は2.9±0.3であった。
• 近似QSVMは、データサイズMに依存しないO(1/ε³)の最良実験的スケーリングを達成するが、非凸性のためグローバル最適性の保証がない。
• Pegasosに基づくプライマルアプローチは双対法よりも良いMスケーリングを示すが、特に古典的カーネルと比較してεスケーリングが悪化する。
• 本研究は、理論的には量子カーネルが明確な高速化を提供可能であるが、有限サンプリングからの統計的ノイズによって実用的学習複雑性が顕著に増加することを強調している。