[論文レビュー] The Complexity of Quantum Systems on a One-dimensional Chain

Sandy Irani|ArXiv.org|May 28, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、1粒子あたり10種類の状態をもつ1次元スピン鎖を用いて、2局所的近接相互作用ハミルトニアンによる断熱的量子計算によって、普遍的量子計算が達成可能であることを示している。さらに、13状態粒子からなる1次元鎖における2局所的ハミルトニアン問題がQMA完全であることを証明し、1次元量子系ですでに量子計算の全複雑性を捉えることができる、という結論に至っている。

ABSTRACT

We prove that adiabatic computation is equivalent to standard quantum computation even when the adiabatic quantum system is restricted to be a set of particles on a one-dimensional chain. We give a construction that uses a 2-local Hamiltonian on nearest neighbors using particles that can have ten distinct states. This implies a construction of a one-dimensional chain of qubits in which the Hamiltonian is 6-local. We adapt this construction to show that the 2-local Hamiltonian for 13-state particles is QMA-complete which in turn implies that the 8-local Hamiltonian restricted to a one-dimensional chain of qubits is QMA-complete.

研究の動機と目的

• 幾何学的に単純な1次元量子系が、普遍的量子計算を支えることができるかどうかを明らかにすること。
• 2局所的ハミルトニアン問題のQMA完全性が1次元系にまで拡張可能かどうかを調査すること。
• 任意の量子回路を、1次元近接相互作用に限った断熱的量子計算モデルでシミュレートする方法を構築すること。
• 1次元断熱的量子計算における普遍性を達成するための最小の局所性と粒子状態の次元要件を確立すること。

提案手法

• 10種類の異なる状態をもつ1次元スピン鎖を構築し、2局所的近接相互作用ハミルトニアンを用いて普遍的量子回路をシミュレートする。
• 断熱定理を適用するため、時間に依存するハミルトニアン H(s) = (1-s)H_init + sH_final を定義し、系が既知の基底状態から目的の出力状態へと発展するようにする。
• 計算ステップを表す状態を1次元鎖に符号化するためのヒストリ状態構成を用いる。
• 正しい回路の発展と入出力条件を保証するため、ハミルトニアン項 H_prop, H_legal, H_valid, H_in, H_out を導入する。
• スペクトルギャップ解析と摂動理論を用いて、全ハミルトニアンの最小固有値を制限し、断熱的発展が成功することを保証する。
• 粒子状態の要件を10から13に減少させることで、1次元鎖における2局所的ハミルトニアンのQMA完全性を証明し、さらに2状態粒子（qubit）の1次元鎖における8局所的ハミルトニアンがQMA完全であることも示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的量子計算は、1次元近接相互作用に限った場合でも、普遍的量子回路をシミュレートできるか？
• RQ2 定数個の状態をもつ1次元鎖の粒子からなる2局所的ハミルトニアン問題は、QMA完全か？
• RQ3 1次元断熱的量子系でQMA完全性を達成するために必要な最小の粒子状態次元は何か？
• RQ4 1次元系においてQMA完全性を保ったまま、ハミルトニアンの局所性を2局所にまで低減可能か？
• RQ5 1次元構造の系は、量子系の全計算能力を制限するのか、それとも依然として普遍的量子計算を支えることができるのか？

主な発見

• 任意の量子回路は、10状態粒子の1次元スピン鎖を用いた2局所的近接相互作用ハミルトニアンによる断熱的量子計算でシミュレート可能である。
• 13状態粒子の1次元鎖における2局所的ハミルトニアンはQMA完全であり、1次元量子系が量子計算の全複雑性を捉えることができることを示している。
• この結果から、2状態粒子（qubit）の1次元鎖における8局所的ハミルトニアンもQMA完全であることが示唆される。
• 構成により、量子回路が高い確率で受理する場合、全ハミルトニアンの固有値はε未満となるが、受理確率が低い場合にはすべての固有値が系サイズの多項式逆数より大きくなる。
• 系のスペクトルギャップは Ω(1/T_n^3) で下から抑えられ、系の発展時間Tが十分に大きい場合には断熱的発展が成功することが保証される。
• 証明はヒストリ状態構成と摂動的ガジェットを用い、正しい回路発展と測定結果の制御を実現しており、基底状態が回路の受理確率を符号化している。