[論文レビュー] The complexity of some regex crossword problems

Stephen Fenner|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべての行と列の正規表現が同一であるという構造的制約下におけるregexクロスワードパズルの計算量的複雑性を調査し、入力符号化に応じて解の存在がNP完全または決定不能であることを証明している。主な結果として、固定列数の正規表現パズルではユニタリ次元でNP完全性が成立し、対称的パズルではNP困難性が成立し、任意サイズの存在についての決定不能性は、2次元テーブルオイドを用いたチューリングマシンのシミュレーションによって示されている。

ABSTRACT

In a typical regular expression (regex) crossword puzzle, you are given two nonempty lists $R_1,\ldots,R_m$ and $C_1,\ldots,C_n$ of regular expressions over some alphabet, and your goal is to fill in an $m imes n$ grid with letters from that alphabet so that the string formed by the $i$th row is in $L(R_i)$, and the string formed by the $j$th column is in $L(C_j)$, for all $1\le i\le m$ and $1\le j\le n$. Such a grid is a solution to the puzzle. It is known that determining whether a solution exists is NP-complete. We consider a number of restrictions and variants to this problem where all the $R_i$ are equal to some regular expression $R$, and all the $C_j$ are equal to some regular expression $C$. We call the solution to such a puzzle an $(R,C)$-crossword. Our main results are the following: 1. There exists a fixed regular expression $C$ over the alphabet $\{0,1\}$ such that the following problem is NP-complete: "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(R,C)$-crossword exist?" This improves the result mentioned above. 2. The following problem is NP-hard: "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(E,E)$-crossword exist?" 3. There exists a fixed regular expression $C$ over $\{0,1\}$ such that the following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$, does an $(R,C)$-crossword exist (of any size)?" 4. The following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$, does an $(E,E)$-crossword exist (of any size)?"

研究の動機と目的

• すべての行と列の正規表現が同一であるという構造的制約下におけるregexクロスワードパズルの計算量的複雑性を分析すること。
• このような制約下でも解の存在がNP困難のままであるか、決定不能になるかを同定すること。
• 入力符号化（ユニタリ vs. 2進数）が問題の複雑性に与える影響を調査すること。
• 任意サイズのクロスワードにおける存在の決定可能性を、特に停止問題と関連付けて探求すること。
• 行と列の正規表現が同一である対称的ケースに拡張し、2人用ゲームや無限グリッド変種への影響を検討すること。

提案手法

• 1テープチューリングマシンの計算を2次元テーブルオイドとして直接符号化し、行が配置状態を表し、列が遷移の合法性を強制する。
• 正規表現 $ C $ を固定し、$ \{0,1\} $ 上で定義し、クロスワードグリッド内での遷移関数とテープヘッドの移動をシミュレートする。
• Cook-Levin定理風の構成を用いてSATを$(R,C)$-クロスワード問題に還元し、ユニタリ符号化下でのNP完全性を証明する。
• 次元がユニタリで与えられる場合、すべての行と列の正規表現が同一であっても、問題がNP完全のままであることを示す。
• 次元が2進数で与えられる場合、問題はNEXP完全になる。ユニタリと2進数が混合する場合はPSPACE完全になる。
• 停止問題からの還元を用いて、任意サイズのグリッドにおける解の存在が決定不能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての行正規表現が同一で、すべての列正規表現が固定の $ C $ に設定され、次元がユニタリで与えられる場合、$(R,C)$-クロスワードの存在はNP完全か？
• RQ2 すべての正規表現が同一であっても、$(E,E)$-クロスワードの存在を判定する問題はNP困難か？
• RQ3 どの固定正規表現 $ C $ に対して、$(R,C)$-クロスワードの存在問題が決定不能になるか？
• RQ4 次元がユニタリではなく2進数で与えられる場合、$(R,C)$-クロスワードの存在問題の複雑性は何か？
• RQ5 $ E $ が固定であっても、$(E,E)$-クロスワードの存在が決定不能になることはあり得るか？

主な発見

• 集合 $ \{0,1\} $ 上に固定された正規表現 $ C $ が存在し、次元がユニタリで与えられる場合、$(R,C)$-クロスワードの存在問題はNP完全である。
• すべての正規表現が同一であっても、$(E,E)$-クロスワードの存在を判定する問題はNP困難である。
• 固定された $ C $ に対して、任意サイズの$(R,C)$-クロスワードの存在問題は決定不能であり、停止問題と同等である。
• 任意サイズの$(E,E)$-クロスワードの存在問題も決定不能であり、停止問題と同等である。
• 次元が2進数で与えられる場合、$(R,C)$-クロスワードの存在問題は多項式時間還元下でNEXP完全になる。
• 1つの次元がユニタリ、もう1つが2進数の場合、問題はPSPACE完全になる。