[論文レビュー] The Complexity of Stoquastic Local Hamiltonian Problems

Sergey Bravyi, David P. DiVincenzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、計算基底における非正の非対角行列要素を持つストーキュラスチックハミルトニアンのための局所的ハミルトニアン問題（LH-MIN）の計算複雑性を調査する。2局所的ストーキュラスチックLH-MINはMA完全であり、一般のストーキュラスチックLH-MIN問題はAMという複雑性クラスに属する。さらに、多項式スペクトルギャップの仮定のもとではPostBPPに属する。これは、ストーキュラスチックハミルトニアンを用いたアディアバティック量子計算がPostBPPでシミュレート可能であることを示唆する。

ABSTRACT

We study the complexity of the Local Hamiltonian Problem (denoted as LH-MIN) in the special case when a Hamiltonian obeys conditions of the Perron-Frobenius theorem: all off-diagonal matrix elements in the standard basis are real and non-positive. We will call such Hamiltonians, which are common in the natural world, stoquastic. An equivalent characterization of stoquastic Hamiltonians is that they have an entry-wise non-negative Gibbs density matrix for any temperature. We prove that LH-MIN for stoquastic Hamiltonians belongs to the complexity class AM -- a probabilistic version of NP with two rounds of communication between the prover and the verifier. We also show that 2-local stoquastic LH-MIN is hard for the class MA. With the additional promise of having a polynomial spectral gap, we show that stoquastic LH-MIN belongs to the class POSTBPP=BPPpath -- a generalization of BPP in which a post-selective readout is allowed. This last result also shows that any problem solved by adiabatic quantum computation using stoquastic Hamiltonians lies in PostBPP.

研究の動機と目的

• ストーキュラスチックハミルトニアンのための局所的ハミルトニアン問題（LH-MIN）の計算複雑性を理解すること。ストーキュラスチックハミルトニアンは物理系に一般的に現れ、計算基底において非正の非対角行列要素を持つ。
• 非負のギブス行列が存在する可能性を踏まえ、ストーキュラスチックLH-MINに対して効率的な古典的または量子的証明プロトコルが存在するかどうかを特定すること。
• ストーキュラスチックLH-MINが属する複雑性クラスを特定すること。特に、多項式スペクトルギャップのような追加の構造的仮定のもとでの性質を特徴づけること。
• アディアバティック量子計算への影響を検討し、ストーキュラスチックアディアバティック遷移がPostBPPに含まれることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、計算基底において実数で非正の非対角行列要素を持つハミルトニアンをストーキュラスチックハミルトニアンとして定義し、すべての逆温度に対してギブス密度行列の非負の行列要素を持つことを示す。
• 線形代数を用いて、このようなハミルトニアンの基底状態が計算基底状態における非負の実数係数を持つことを示し、これにより基底状態の確率的解釈が可能になる。
• 非負の基底状態とその効率的サンプリングの能力を活用して、2ラウンドのインタラクティブ証明システム（AM）を構築する証明技法を用いる。
• PostBPPの結果を得るため、多項式スペクトルギャップの仮定のもとで、後選択（post-selection）を用いて基底状態エネルギー推定を古典的確率的計算でシミュレートする。
• 摂動理論と自己エネルギー展開を用いて3キュービットゲートを分析し、高次補正が有界であり、主な複雑性主張を破綻させないことを示す。
• 非決定的チューリングマシンと経路数え上げを用いた還元とシミュレーションにより、複雑性クラスの包含関係を確立し、認識される言語がPostBPPに属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストーキュラスチックハミルトニアンのための局所的ハミルトニアン問題は、効率的な古典的証明プロトコルを許容する複雑性クラスに含まれるか？
• RQ2 ストーキュラスチックハミルトニアンの基底状態を用いて確率分布を定義し、基底状態エネルギーの古典的シミュレーションを可能にすることができるか？
• RQ3 多項式スペクトルギャップが存在する場合、ストーキュラスチックLH-MIN問題はPostBPP（BPPpath）に属するか？これは後選択を許容するBPPの一般化である。
• RQ4 2局所的ストーキュラスチックLH-MINはMA完全であるか？これは一般ケースにおいて量子的証明が必要不可欠であることを示唆する。
• RQ5 ストーキュラスチックハミルトニアンを用いたアディアバティック量子計算は、効率的に古典的にシミュレート可能か？もしそうなら、どの複雑性クラスに属するか？

主な発見

• 一般のストーキュラスチック局所的ハミルトニアン問題（LH-MIN）は複雑性クラスAMに含まれており、定数通信量の2ラウンド古典的インタラクティブ証明システムが存在することを示している。
• 2局所的ストーキュラスチックLH-MINはMA完全である。これは、このサブクラスに対して量子的証明が必要かつ十分であることを示している。
• 多項式スペクトルギャップの仮定のもとで、ストーキュラスチックLH-MINはPostBPP = BPPpathに属する。これは、問題が後選択を許容する古典的確率的計算によって解けることを示唆する。
• 任意のストーキュラスチックハミルトニアンの基底状態は、計算基底において非負の実数係数を持つ。これにより、直接的な確率的解釈が可能となり、サンプリングに基づく基底状態エネルギー推定が可能になる。
• ストーキュラスチックハミルトニアンを用いたアディアバティック量子計算はPostBPPでシミュレート可能であり、これはこのような量子アルゴリズムが古典的後選択計算を越えて量子優位性を提供しないことを意味する。
• 3キュービットゲートにおける有効ハミルトニアンの高次摂動補正は有界であり、複雑性分類を破綻させない。補正のノルムは小さなδに対してO(δ)である。